La confusión relativa a la predicción de la distribución de gauss de los procesos de

Question

Tengo esta confusión relativa a la distribución predictiva de gauss proceso. Estaba leyendo este papel

Yo no entiendo cómo la integración dio ese resultado. ¿Cuál es P(u*|x*,u). También cómo es que la covarianza de la distribución posterior es $\sigma^2(\sigma^2I+K)^{-1}K$

Answer 1

$P(u*|x*,u) ~ N(u(x*)$, $\sigma^2$), directamente de la definición de $u*$.

Observe que la integración de dos de Gauss pdf está normalizado. Puede ser demostrado por el hecho de que $$ \int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^* =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)dudu^* =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^*du =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*-u(x*); 0, \sigma^2)du^*du =\int_{u}P(u|s)du\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*; 0, \sigma^2)du^* =1 $$

Con la normalización de la forma,

$\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)du$ está integrado por los siguientes consejos:

1. Sustituir el 2 pdf normal en la ecuación y eliminar los términos independientes de $u$, como ya hemos demostrado la normalización.

2. El uso de la completando el cuadrado truco para integrar multivariante exponencial, es decir, la construcción de un pdf normal multivariante con el resto de la exponencial términos. Consulte este vídeo de youTube.

3. Finalmente se queda con un aumento exponencial en términos de $u^*$, se puede observar que este es de nuevo un factor de distancia a partir de un pdf normal. De nuevo, la prueba de normalización nos da la confianza de que la forma final es de hecho un pdf normal. El pdf es el mismo que el dado en el post original.

Answer 2

La detallada derivaciones de las ecuaciones para la distribución condicional de una Gaussiana proceso se puede encontrar en el capítulo 2 y el apéndice a del libro [Rasmussen2005].

Echa un vistazo a (Eq. 2.23, 2.24) y por encima de, que se basan en el Gaussiano identidades (A. 6) y la matriz de la propiedad (A. 11).

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[Rasmussen2005] C. E. Rasmussen y C. Williams. Gauss Procesos para el Aprendizaje de Máquina. MIT Press, 2005.