Si $(a,b)=1$, a continuación, probar $(a+b, ab)=1$.

Question

$(a,b)=1$ $a$ $b$ no tienen factores primos en común

$ab$ es simplemente el producto de los factores de $a$ y los factores de $b$.

Vamos a decir $k\mid a+b$ donde $k$ es de algún factor de $a$.

A continuación,$ka=a+b$$ka-a=b$$a(k-l)=b$.

Así $a(k-l)=b, \ a\mid a(k-1)$ [$a$ divide el lado izquierdo] por lo tanto, $a\mid b$ [la derecha].

Pero $(a,b)=1$ $a$ no se puede dividir $b$.

Tenemos un argumento similar para $b$.

Por lo $a+b$ no es divisible por ninguno de los factores de $ab$.

Por lo tanto, $(a+b, ab)=1$.

Podría ser esto correcto? Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Supongamos que el mcd es no $1$. A continuación, hay un primer $p$ que divide $ab$$a+b$.

Pero, a continuación, $p$ se divide una de $a$ o $b$, decir $a$. Desde $p$ divide $a+b$, se deduce que el $p$ divide $b$. Esto contradice el hecho de que $a$ $b$ son relativamente primos.

Answer 2

Su salto desde "$k\mid a+b$ $k\mid a$ " $ka=a+b$ parece estar equivocado. Sólo porque $k$ es un factor de $a$ no significa en absoluto que el número de veces que se divide $a+b$ es exactamente $a$. Que parece matar al resto de su argumento.

---

Aquí, en cambio, es un enfoque que no menciona los factores primos. Se inicia a partir de la conocida propiedad que $(a,b)=1$ exactamente si hay $p,q\in\mathbb Z$ tal que $pa+qb=1$.

Plaza de $pa+qb=1$ para obtener $$ p^2a^2 + q^2b^2 + 2pqab = 1 $$ Si podemos mostrar que cada uno de los términos en el lado izquierdo de esta es un entero combinación de $a+b$$ab$, entonces el lado derecho es demasiado.

Pero $2pqab$ es claramente un entero combinación de $a+b$ $ab$ es decir $0(a+b)+2pq\cdot ab$.

Y $a^2 = a(a+b)-ab$, lo $p^2a^2 = p^2a(a+b)-p^2\cdot ab$.

Del mismo modo $q^2b^2 = q^2b(a+b)-q^2\cdot ab$.

La recopilación de todo, $(p^2a+q^2b)(a+b)+(2pq-p^2-q^2)ab=1$, lo $(a+b,ab)=1$.

Answer 3

$\begin{eqnarray}\rm{\bf Hint}\,\ \ 1\!=\!(a,b)\!\overset{Bexout}\Rightarrow\! 1=\color{sienna}{ia\!+\!jb}\, \Rightarrow &&\rm \color{#0a0}{ab}c\!+\!(\color{blue}{a\!+\!b})d\! =\! (\color{sienna}{ia\!+\!jb})^2\! = \color{#c00}1\\ \rm thus\quad n\mid &&\rm \color{#0a0}{ab},\ \ \color{blue}{a+b}\ \Rightarrow\ n\mid\color{#c00} 1\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}\rm \ \overset{\phantom{B}}for\ \ \ c &=&\rm\, 2ij\!-\!i^2\!-\!j^2 \\ \rm d &=&\rm \, i^2a\!+\!j^2b\end{eqnarray}$

Comentario $\ $ La génesis de la prueba es ideal teórico, como se explica en este post, que presenta un puñado de pruebas de la más general de identidad $\rm\ (a\!+\!b,\ lcm(a,b)) = (a,b).$ El de arriba es esencialmente un Bezout forma de la última prueba (que es más general que una prueba de uso de los números primos, ya que funciona en cualquier mcd dominio donde los números primos no tiene que existir).

Answer 4

He aquí otra prueba de uso de la Identidad de Bezout: $$ \begin{align} ma+nb&=1\tag{1}\\ (n-m)b&=1-m(a+b)\tag{2}\\ (m-n)a&=1-n(a+b)\tag{3}\\ -(m-n)^2ab&=1-(m+n)(a+b)+mn(a+b)^2\tag{4}\\ 1&=((m+n)-mn(a+b))\color{#C00000}{(a+b)}-(m-n)^2\color{#C00000}{ab}\tag{5} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: $(a,b)=1$ y la Identidad de Bezout
$(2)$: restar $m(a+b)$ desde ambos lados de $(1)$
$(3)$: restar $n(a+b)$ desde ambos lados de $(1)$
$(4)$: multiplicar el $(2)$ $(3)$
$(5)$: reorganizar y recoger los términos de $a+b$ $ab$ $(4)$

La Identidad de Bezout y $(5)$$(a+b,ab)=1$.

---

Henning Makholm y Bill Dubuque también dar Bezout Identidad basada en pruebas. El coeficiente de $ab$ es la misma en todas nuestras respuestas, pero el coeficiente de $a+b$ en la mina se ve diferente de la de ellos. Son los mismos sin embargo: $$ \begin{align} (m+n)-mn(a+b) &=(m+n)\overbrace{(ma+nb)}^{1}-mn(a+b)\\ &=m^2a+n^2b+mn(a+b)-mn(a+b)\\ &=m^2a+n^2b \end{align} $$

Answer 5

Usted dice:

Vamos a decir $k\mid a+b$ donde $k$ es de algún factor de $a$.

A continuación, $ka=a+b$ ...

Este paso realmente no tiene ningún sentido como escrito. Si $k\mid a+b$, hay algunos entero $m$ tal que $km=a+b$, pero ciertamente no hay razón para pensar que $m=a$. Lo que quiero hacer en este momento es el uso de la hipótesis de que la $k\mid a$: hay algunos entero $n$ tal que $a=kn$, y por lo tanto $km=kn+b$. Ahora usted puede resolver por $b$ y observar que $k\mid b$. Pero, a continuación, $k$ es un divisor común de a$a$$b$, lo $k=\pm1$, y han demostrado que $\gcd(a,a+b)=1$.

Un argumento similar muestra que $\gcd(b,a+b)=1$, y luego de su último paso está bien.