Números enteros representados por $x^2 + 3 y^2$ frente a los enteros representados por $x^2 + x y + y^2$ .

Question

¿Cómo se demuestra que las formas cuadráticas $x^2 + 3 y^2$ y $x^2 + x y + y^2$ representan el mismo conjunto de números enteros?

Creo que está relacionado con un resultado clásico de Euler sobre los primos de la forma $6k+1$ . De hecho, un número entero positivo $n$ es de la forma $x^2 + 3 y^2$ si y sólo si los primos $\equiv -1 \mod 3$ tienen un exponente par en $n$ . Del mismo modo, para $x^2 + x y + y^2$ .

Sin embargo, alguien me dijo que esto se puede demostrar sin tanta base teórica numérica. Cualquier idea será apreciada.

Answer 1

Para tratar fácilmente la paridad, se puede ver que si $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ entonces $$f(x,y)=f(y,x)=f(-x-y,y)=f(-x-y,x)=f(x,-x-y)=f(y,-x-y)$$

Así que siempre se puede asumir que $x$ es incluso en $f(x,y)$ porque si no es así, sólo hay que considerar $f(y,x)$ o $f(-x-y,y)$ (y ya sea $y$ o $-x-y$ es par).

Así que $g(x,y)=4x^2+2xy+y^2$ tiene la misma imagen en $\mathbb Z^2$ que $f$

Pero como se explicó en los comentarios/respuestas anteriores, $$g(x,y)=(x+y)^2+3x^2$$

Y si $u=x+y$ y $v=x$ entonces $x=v$ y $y=u-v$ se trata de una transformación reversible, por lo que $g$ y $h(u,v)=u^2+3v^2$ tiene la misma imagen.

Answer 2

Otros ya han respondido bien; la forma principal $x^2 + xy + k y^2$ siempre representa un superconjunto de los números representados por $x^2 + (4k-1)y^2.$ Para $k=1,$ los dos conjuntos coinciden. Lo mismo para $k = -1,$ así que $x^2 + xy - y^2$ representa los mismos números que $x^2 - 5 y^2.$

Siempre se da el caso de que $x^2 + xy + 2k y^2$ siempre representa el mismo impar números representados por $x^2 + (8k-1)y^2.$ Así que, $x^2 + xy + 2y^2$ y $x^2 + 7 y^2$ representan los mismos números Impares. Lo mismo ocurre con $x^2 + xy -4y^2$ y $x^2 - 17 y^2$

Answer 3

Sugerencia

$$x^2+xy+y^2=(x+\frac{1}{2}y)^2+3 (\frac{y}{2})^2=(\frac{1}{2}x+y)^2+3 (\frac{x}{2})^2= (\frac{x-y}{2})^2+3(\frac{x+y}{2})^2$$

Dividirlo en tres casos por paridad.

Al revés, hay que hacer las sustituciones posteriores, es decir, denotar los paréntesis del lado derecho por $x',y'$ y resolver para $x, y$ . Entonces se obtienen relaciones de la forma $$x'^2+3y'^2= x^2+3y^2=( ... )^2+3 (..)^2$$