Deje $k$ ser un campo, $X$ un conjunto finito, $k\{X\}$ el álgebra de $k$funciones con valores en $X$, e $I \subset k\{X\}$ un ideal (en el sentido de anillo de la teoría). Es cierto que existe $f \in k\{X\}$ tal que $I = \{g \cdot f \mid g \in k\{X\}\}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted se pregunta si $k\{X\}$ es necesariamente una de las principales ideales del anillo. Este es el caso cuando se $X$ es finito, porque el director ideal anillos son cerrados bajo finito directa de los productos.
Sólo tenemos que verificar que el $k\{X\}$ es isomorfo como un $k$-álgebra a $k^{|X|}$. Deje $\phi(f) = (f(x_1),f(x_2),\ldots,f(x_n))$ donde $X =\{x_1,\ldots,x_n\}$. A continuación, la adición y la multiplicación son operaciones en conserva (junto con $k$-la multiplicación escalar), y el núcleo de $\phi$ es trivial.
En este caso especial (especial en que el campo de $k$ es trivialmente un director ideal del anillo), podemos identificar de manera explícita una función de $f:X\to k$ que genera un determinado ideal de $I$. Deje $Z\subseteq X$ ser los puntos de $z\in X$ que $g(z)=0$ todos los $g\in I$. Definir $f$ tal forma que:
$$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x\in Z \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases} $$
Claramente para cualquier $g\in I$, $g(x) = g(x)\cdot f(x)$ para cualquier $x\in X$. Por lo $I \subseteq f\cdot k\{X\}$. Para mostrar la otra dirección de la inclusión de cantidades de muestra $f\in I$.
Desde $X$ es finito, una manera de demostrar que $f\in X$ es para expresar como una suma finita de funciones en $I$. En particular, considerar los $w \in X \setminus Z$, es decir, los puntos en $X$ por lo que algunos $g_w\in I$ es distinto de cero en $x=w$. Construir:
$$ f_w(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x = w \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$
$$ f_w(x) = (g_w(w))^{-1} f_w(x) g_w(x) $$
Por lo tanto $f$ es la suma de las distintas $f_w \in I$, por lo tanto $f\in I$.
