generación finita de grupo de la unidad de la función global de campo

Question

Deje $X/\mathbb{F}_q$ ser un suave proyectiva geométricamente conectado curva. ¿Por qué tenemos $\Gamma(X - \{p_1,\ldots,p_n\},\mathcal{O}_X)^\times$ es finitely generado de rango $n$? (análogo de la unidad de Dirichlet teorema de la función de los campos)

EDICIÓN: 1. También es posible demostrar que este uso de Riemann-Roch? $\dim\Gamma(X, \mathcal{L}(D)) = \deg{D} + 1-g$? 2. O usando exactamente la misma secuencia $1 \to \mathbb{G}_{m,X} \to j_*\mathbb{G}_{m,X - S} \to \bigoplus_{p \in S}\mathbb{Z} \to 0$?

EDIT2: Sí, 2. funciona!

Answer 1

Denotar por $U=X\setminus \{p_1, \dots, p_n\}$ y supongamos $n\ge 1$. Considerar el subgrupo de divisores de grado $0$$X$:
$$H=\{ \sum_i a_i[p_i] \in \oplus_i \mathbb Z[p_i]\mid \sum_i a_i[k(p_i):\mathbb F_q]=0\}\subseteq \mathrm{Div}^0(X).$$ Este es un servicio gratuito de abelian grupo de clasificación $n-1$. Tomando los divisores de funciones racionales da a un grupo de homomorphism $$ \mathrm{div}: \Gamma(U, O_X)^\times \to H$$ cuyo núcleo es $\mathbb F_q^\times$ porque consiste en invertible funciones regulares en $X$. El cokernel es un subgrupo de $\mathrm{Jac}(X)(K)$ ($K$-puntos racionales de la Jacobiana de $X$) donde $K$ es el compositum de los residuos de campo $k(p_i)$. Como $K$ es un campo finito, $\mathrm{Jac}(X)(K)$ es finito. Esto implica que $\Gamma(U, O_X)^\times/\mathbb F_q^\star$ es un servicio gratuito de abelian grupo de clasificación $n-1$. Por lo tanto $$\Gamma(U, O_X)^\star \simeq \mathbb F_q^\star\times\mathbb Z^{n-1}.$$ Aquí $n$ es el número de "lugares" en el infinito. Sobre los campos de número, el número correspondiente es $r_1+r_2$, el número de infinitos lugares.

Answer 2

En adición a @Cantlog "geométrico" en respuesta, el Fujisaki Compacidad Lema argumento a través de la medida de Haar es idéntico: prueba para cualquier finito separables extensión de $K$ $\mathbb F_q(x)$ que ideles de norma $1$ modulo $K^\times$ es un grupo compacto. A continuación, como corolarios uno tiene tanto la finitud de "generalizada número de clase" y el generador de cuentas (mod torsión) para "generalizada de la unidad de los grupos".

Que es, de alguna manera el local de la compacidad de las terminaciones, la finitud de los residuos de los campos de la clase da un argumento suficiente.