Rompecabezas de la suma infinita de troncos

Question

He aquí un bonito rompecabezas de suma infinita:

Demuestre que lo siguiente es cierto cuando $|x|<1$

$$-\ln(1-x)=\ln(1+x)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)\dots\ln(1+x^{2^k})\dots\\-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\ln(1+x^{2^k})$$

Espero que lo disfruten.

SUGERENCIA: La respuesta es probablemente más sencilla de lo que crees.

Answer 1

$$\begin{align} -\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\ln(1+x^{2^k}) & \iff \frac 1 {1-x}=\prod^\infty _{k=0}(1+x^{2^k})\\ &\iff 1=(1-x)\lim_{n \to \infty} \prod^n _{k=0}(1+x^{2^k})\\ &\iff1=(1-x^2)\lim_{n \to \infty}\prod^n_{k=1}(1+x^{2^k})\\ &\iff1=\lim_{n \to \infty} (1-x^{2^{n+1}})\\ \end{align} $$

Answer 2

Exponencie ambos lados para obtener $\frac{1}{1-x} = (1+ x)(1 + x^2)$ ... Por la unicidad de la representación binaria de un entero no negativo encontramos que la $x^n$ El coeficiente del lado derecho es $1$ para todos $n$ por lo que la igualdad se sigue por la representación en serie de la potencia del lado izquierdo.

Answer 3

Llamemos al lado derecho $\ln(A)$

Tome el exponencial de $\ln(A)$ y ampliarlo con $\frac{1-x}{1-x}$ ver el producto del telescopio en el lado derecho para obtener:

$$A=\frac{1}{1-x}\lim_{k\to \infty}(1-x^{2^{k+1}})=\frac{1}{1-x}$$

Tome el logaritmo de $A$ para demostrar que es igual a $-\ln(1-x)$ .

Answer 4

Empezar por el hecho de que $0=LFS+\ln(1-x)$ , mientras que $RHS+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)+\ln(1+x^2)+\ln(1+x^4)\dots=\lim_{n\to+\infty}\ln(1-x^n)=0$ , por lo que LHS=RHS.