Duda en la aplicación de la integración - Cálculo de volúmenes y áreas superficiales de sólidos de revolución

Question

Estoy usando dos libros para repasar cálculo.

1. Cálculo de Thomas
2. Matemáticas Superiores para Principiantes por Ya. B. Zeldovich

Mi pregunta es: Cuando aplicamos Cálculo Integral para el cálculo de volúmenes de sólidos generados por curvas que se revuelven alrededor de un eje, usamos cortes de 'cilindros' para aproximar el volumen del sólido resultante y luego integramos la suma de esos cilindros infinitesimales. Sin embargo, cuando utilizamos las mismas técnicas para calcular el área de la superficie de las superficies generadas al revolver curvas alrededor de un eje, consideramos la 'pendiente' de la longitud diferencial de la curva 'dx', calculamos la longitud total de la curva y derivamos el área superficial requerida.

¿No se supone que debemos usar la misma 'pendiente' para calcular los volúmenes de los 'cilindros' infinitesimales para el cálculo de volúmenes? ¿No deberíamos usar 'porciones cortadas de 'conos' como los volúmenes infinitesimales? Cuando se trata del cálculo de volúmenes de sólidos de revolución, ¿por qué estamos ignorando la pendiente de la curva para la longitud diferencial y simplemente asumimos que es un cilindro infinitesimal?

Ej: Digamos que queremos calcular el área superficial y el volumen del sólido generado cuando la parábola y = 10 . x^2 se revuelve alrededor del eje y, con límites de x de 0 a 5.

En tales casos, al calcular el volumen del sólido, consideramos 'cilindros' infinitesimales, ignorando la 'pendiente' de la curva para el elemento diferencial 'dx', pero al calcular el área superficial, consideramos la 'pendiente' del elemento diferencial 'dx'.

Answer 1

Me gusta esta pregunta; lo que estás tratando de entender es importante para comprender.

En esta respuesta hablaré de manera flexible sobre cantidades infinitesimales lineales o cuadráticas en $\mathrm dx$; creo que esta es la mejor manera de tener una idea de este tipo de cosas, pero argumentos similares también podrían presentarse de manera más rigurosa.

Básicamente, la razón es que en el caso del área superficial, el efecto de la pendiente es lineal en $\mathrm dx$, mientras que en el caso del volumen, es cuadrático en $\mathrm dx$. Por lo tanto, podemos despreciarlo en el límite $\mathrm dx\to0$ en el último caso pero no en el primero.

Veamos qué sucede si tenemos en cuenta la pendiente al sumar el volumen de rebanadas del sólido de revolución generado por una función $f(x)$ girada alrededor del eje $x$. Como dices, después del volumen cilíndrico $\pi f^2\mathrm dx$, el siguiente orden de aproximación sería un cono, o más precisamente un tronco de cono, correspondiente a una aproximación lineal a la función. El volumen de dicho tronco entre $x$ y $x+\mathrm dx$ sería

$$\begin{eqnarray} \frac13\pi\mathrm dx\left(f(x)^2+f(x)f(x+\mathrm dx)+f(x+\mathrm dx)^2\right) &\approx& \frac13\pi\mathrm dx\left(3f(x)^2+3f(x)\mathrm dx\right) \\ &=& \pi\mathrm dx\left(f(x)^2+f(x)\mathrm dx\right)\;, \end{eqnarray} $$

lo cual difiere del volumen cilíndrico por el segundo término, que contiene un factor más de $\mathrm dx$ que el primero y por lo tanto se anula en el límite.

Por el contrario, para el área superficial, tener en cuenta la pendiente lleva a un elemento de superficie $2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}$, mientras que no tenerla en cuenta llevaría solo a $2\pi f(x)$, el área superficial de una rebanada cilíndrica. Aquí no tenemos dos términos con uno despreciable y dominado por el otro, sino un factor adicional que sobrevive en el límite.

También puedes tratar de imaginar esto geométricamente. Piensa en una rebanada cónica y la rebanada cilíndrica correspondiente, e imagina reduciendo su ancho. A medida que reduces, la porción de volumen en ese pequeño extra en el borde se vuelve despreciable en comparación con la mayor parte de la rebanada, mientras que la mayor parte solo se reduce con el ancho, el extra se reduce tanto con el ancho como con la desviación vertical, que es la pendiente veces el ancho, por lo que se reduce cuadráticamente mientras que la mayor parte se reduce linealmente. Para la superficie, no hay tal efecto, ya que no hay una "mayor parte" de la superficie; toda la superficie está en el borde, y inclinarla por la pendiente hace que toda ella sea más grande, no solo una pequeña porción que se vuelve despreciable en el límite.

Answer 2

Podrías usar "porciones cortadas de conos" como tus volúmenes infinitesimales, pero la respuesta sería la misma que si usaras cilindros, la diferencia entre los dos tiende a cero más rápido que el volumen en sí, por lo que desaparece en el límite. Esto no ocurre con el área superficial de una porción cortada de un cono, su área es mayor que la del cilindro por un factor que tiende a $\sqrt{1+(dy/dx)^2}$ en el límite.