El movimiento browniano - función característica

Question

Permítanme recordarles primero la construcción de movimiento Browniano.

Fijar un vector $x \in \mathbb{R}^n$ y definir $p(t,x,y) := (2\pi t )^{-\frac{n}{2}} \cdot \exp{\left( - \frac{|x-y|^2}{2t} \right)},$ $y \in \mathbb{R}^n$, $t >0$.

A continuación, para $0 \leq t_1 \leq t_2 \leq \ldots \leq t_k$ definimos una medida $\nu_{t_1, \ldots, t_k}$ $\mathbb{R}^{nk}$ por $$\nu_{t_1, \ldots, t_k}(F_1 \times \ldots \times F_k)= \int \limits_{F_1 \times \ldots \times F_k}^{} p(t_1, x, x_1)\prod_{j=1}^{k-1}p(t_{j+1}-t_j,x_{j}, x_{j+1}) dx_1\ldots dx_k,$$ donde se utilizan las siguientes convenciones $dy=dy_1\ldots dy_k$ para la medida de Lebesgue y $p(0, x, y)dy=\delta_x(y)$ (la unidad de masa del punto en $x$).

Mediante la prueba de Kolmogorov extensión del teorema aplicado a la probabilidad de medidas de $\nu_{t_1, \ldots, t_k}$ (que fácilmente se satisface todas las assumtions de ese teorema), existe una probabilidad del espacio $(\Omega, \mathcal{F}, P^x)$ y un proceso estocástico $\{B_t\}_{t \geq 0}$ $\Omega$ de manera tal que las distribuciones finito de $B_t$ están dadas por $$ (\star) \ \ P^x(B_{t_1} \in F_1, \ldots, B_{t_k} \in F_k)= \int \limits_{F_1 \times \ldots \times F_k}^{} p(t_1, x, x_1)\prod_{j=1}^{k-1}p(t_{j+1}-t_j,x_{j}, x_{j+1}) dx_1\ldots dx_k.$$

Problema

Quiero mostrar que para la variable aleatoria $Z = (B_{t_1}, \ldots, B_{t_k}) \in \mathbb{R}^{nk}$ existe un vector $M \in \mathbb{R}^{nk}$ y no negativa definida la matriz de $C \in \text{M}_{nk \times nk}(\mathbb{R})$ tal que $$E^x\left[\exp\left(i\left<u, Z \right> \right)\right]= \exp\left( -\frac{1}{2} \left<Cu, u\right> + i \left<u, M\right> \right),$$ para todos los $u=(u_1, \ldots, u_{nk}) \in \mathbb{R}^{nk}$ (lado izquierdo representa la función característica de la variable aleatoria $Z$). Por otra parte, $M$ es el valor de la media de $Z$ $C$ es una matriz de covarianza de $Z$.

Yo estaba tratando de calcular explícitamente a través de la escritura de la mano izquierda por su definición y la aplicación de la ($\star$) de la fórmula, pero la integral que tengo no es tan agradable y no puedo terminar lo que quiero.

Este ejercicio no es otra cosa, pero mostrando que $B_t$ es un proceso Gaussiano (así que no es difícil adivinar lo que debería ser $M$ $C$ en este caso).

Espero que usted sabe algunos trucos de cómo calcular dicha integral en una manera fácil. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Denotar $t_0 = 0$ $x_0 = 0 $ por conveniencia notacional. Entonces

$$ \mathbb{E}( \exp(i \langle u, Z \rangle ) = \int_{\mathbb{R}^{n k}} \exp( i \langle u, x \rangle ) \prod_{j=1}^k p(t_{j}-t_{j-1}, x_{j} - x_{j-1}) \mathrm{d}x_1, \cdots \mathrm{d} x_k $$ Ahora el cambio de las variables de $x_k = \sum_{i=1}^k s_k$. Este tiene unidad de Jacobina, se obtiene $$ \mathbb{E}( \exp(i \langle u, Z \rangle ) = \int_{\mathbb{R}^{n k}} \prod_{k=1}^k \exp( i \, s_j \sum_{m=j}^k u_q ) ) \prod_{j=1}^k p(t_{j}-t_{j-1}, s_j) \mathrm{d}s_1 \cdots \mathrm{d} s_k $$ Ahora la integración con respecto a cada una de las $s_j$ puede llevarse a cabo de forma independiente y producirá $\exp( Q_j(u))$ donde $Q_j$ es una ecuación cuadrática multivariante polinomio en $u$. Por lo tanto la función característica de k-dimensional del tiempo-división de distribución de este movimiento Browniano proceso va a ser $\exp(Q(u))$.

Ahora $Q(u) = \langle C u, u \rangle + i \langle u, M \rangle $ donde $C$ es la matriz de covarianza y $M$ es decir vector. La libre expresión será falta, porque c.f. es uno de vector cero $u$.