Encontrar más corta la distancia del punto al plano

Question

Necesito de ustedes para comprobar mi tarea pregunta si estoy equivocado o no...

Dado el punto de $(1,4,1)$ en la necesidad de encontrar la distancia más corta entre este y el avión $2x_1 - x_2 + x_3 = 5$.

Así que en primer lugar, me encontré con la normal $n = \left( \begin{array}{c} -2\\ 1\\ -1 \end{array} \right)$

Luego se transformó en el plano paramétrico forma y encontrar un punto en el plano:

$ \left( \begin{array}{c} 5/2\\ 0\\ 0 \end{array} \right)$

Encontrar el vector, $v$:

$ \left( \begin{array}{c} -3/2\\ 4\\ 1 \end{array} \right)$

Entonces me encontré con la distancia (producto escalar de n y v todo n), tengo una distancia de 1. Sin embargo, la respuesta es en realidad la raíz cuadrada de 6. Alguna idea de donde me salió mal?

Answer 1

A veces es mejor no pensar en términos de fórmulas.

Inicialmente, el punto es $(1,4,1)$ y quiere llegar al plano en el que una línea recta es el camino más corto, la dirección a la que debe viajar está dada por la normal del plano (dibujar una imagen y esto es obvio), que es $(2,-1,1)$, por lo que necesitamos $(1,4,1)+t(2,-1,1)$ a estar en el avión. Así que vamos a resolver para $t$, que viene a $1$. Ahora, el punto tiene que moverse $1.(2,-1,1)$. Y es por eso que la distancia es $\sqrt{6}$.