Hallar el número de factores de producto de números

Question

Si $a,b,c,d\in\mathbb{N}$ ser distintos. Cada uno de los cuales tiene exactamente cinco factores, podemos determinar el número de factores del producto de $a,b,c,d$?

Editar

Esta es la solución en la parte de atrás del libro que estoy leyendo. No tiene sentido para mí.

Si a, b, c y d tienen cinco factores de cada uno , todos ellos son la cuarta potencias de números primos. De ahí que su producto tendrá un total de $(4+1)(4+1)(4+1)(4+1) = 625$ factores.

Ans : $625$

Answer 1

Sí!

Si estás familiarizado con cómo encontrar el número de factores de un número, entonces se convierte en un asunto de primer factorización de cada una de las $a,b,c,d$. Desde $5$ es el primer en sí, se sigue que cada uno de los cuatro enteros debe ser de la forma $p_i^4$ para algunos prime $p$$i=1,2,3,4$. Ahora se nos da ese $a,b,c,d$ son todos distintos; es decir, cada una de las $p_i$'s deben ser distintos. Por lo tanto, $abcd= p_1^4 \cdot p_2 ^4 \cdot p_3 ^ 4 \cdot p_4 ^4$, que por la fórmula, ha $(4+1)(4+1)(4+1)(4+1)=625$ factores.

Answer 2

Yo a encontrar la mejor solución para estos problemas, cuando se confunde, es trabajar con los más pequeños ejemplos. Supongamos $a$ $b$ cada uno tiene 1 primer factor (es decir, son los principales). Entonces, ¿cómo muchos factores no $ab$? Bien, ya que son distintas, sabemos $1$, $a$, $b$, y $ab$ brecha $ab$ uniformemente. Y de hecho, nada más posible a la brecha $ab$.

Así que la respuesta de arriba es $(1+1)(1+1)$ como se esperaba.

Ahora simplemente aumentar el número de factores y el número de enteros para que coincida con su pregunta. Si te pierdes en el camino, post en los comentarios y te ayudaremos!

Addendum: Usted tiene que tener cuidado cuando el número de factores primos (5 en el problema anterior) no es en sí mismo el primer: entonces las cosas no funcionan como limpiamente. El hecho de que el problema se establece que cada número natural tiene 5 factores primos implica inmediatamente cada número es $p^4$ para algunos prime $p$. Ese es un punto crucial.