Gallian: es cierto que el principio de buena ordenación no puede ser probada a partir de las propiedades de la aritmética?

Question

Acabo de empezar a leer Gallian del álgebra Abstracta y en la página 3 dice: "Una propiedad importante de los enteros...es lo que se denomina Principio de orden. Ya que esta propiedad no puede ser probada a partir de las propiedades habituales de la aritmética, lo tomaremos como un axioma". [mi énfasis]

Mi pregunta es, ¿cómo puede uno (en este caso el autor) estar tan seguro de que el Bien Principio de orden no puede ser probada a partir de las propiedades de la aritmética. Es posible demostrar que las declaraciones de este tipo (es decir, el uno en cursiva arriba). Si es así, ¿qué sería de una prueba?

Answer 1

Por supuesto, el bien-principio de orden puede ser demostrado por los números naturales en el estándar de la teoría de conjuntos, y se puede encontrar una prueba con google.

Si es así, ¿qué sería de una prueba?

Usualmente se utiliza la teoría de conjuntos para demostrar la inducción, y luego de la inducción para demostrar el buen orden de $\Bbb N$.

Supongo que depende de lo que el "propiedades de la aritmética" son los que se refiere. Si se acaba el anillo de axiomas para $\Bbb Z$, entonces sí, que no es suficiente para probar bien el pedido de $\Bbb N$. Tal vez Gallian simplemente no quieren ir tan lejos en la teoría de conjuntos, por lo que él lo toma como un axioma.

Answer 2

Podemos probar el buen orden de la propiedad si suponemos que el principio de inducción (y lo mismo podemos demostrar el principio de la inducción, si suponemos que el buen orden de la propiedad). Para una prueba, vamos a $A\subset\mathbb{N}$, y supongo que no tiene ningún elemento menos. Deje $B$ ser el conjunto de todos los números naturales $n$ tal que $1,\dots,n\not\in A$. Entonces claramente $1\in B$ (porque si $1$ fueron en $A$, $1$ sería el elemento más pequeño de $A$). Por otra parte, si $1,\dots,k\not\in A$, seguramente $k+1\not\in A$ (de lo contrario $k+1$ sería el elemento más pequeño de $A$), por lo $1,\dots,k+1\not\in A$. En otras palabras, si $k\in B$$k+1\in B$. Por inducción tenemos $n\in B$ todos los $n\in\mathbb{N}$, por lo tanto $A=\emptyset$, completando la prueba.