$R^n \cong R^m$ fib $n=m$

Question

¿Cómo puedo demostrar que dos $R$-módulos de rango finito son isomorfos si y sólo si tienen el mismo rango, es decir, $R^n \cong R^m$ fib $n=m$.

Answer 1

Este es el caso de los anillos de la "IBN" (invariante de la base de la propiedad número). Entre estos son conmutativas anillos-que es probablemente lo que significaba.

Uso del teorema de Krull para encontrar un ideal maximal $\mathfrak{m}$ $R$ y utilice el hecho de que desde $R^n\cong R^m$ $R$- módulos que $(R/\mathfrak{m})\otimes_R R^n\cong (R/\mathfrak{m})\otimes_R R^m$ $R/\mathfrak{m}$- módulos. Pero, a partir de módulos básicos de la teoría de que esto es sólo $(R/\mathfrak{m})^n\cong(R/\mathfrak{m})^m$, por lo que hemos reducido el problema general de los anillos de campos--algo que usted debe estar familiarizado con.

Answer 2

Si la localización no es lo tuyo, hay una elementales diferentes pruebas.

Como en álgebra lineal, se puede demostrar que el conjunto de R transformaciones lineales de $R^n\to R^m$ es isomorfo al conjunto de $n\times m$ matrices sobre R. Un isomorfismo equivaldría a una $n\times m$ de la matriz a y un $m\times n$ matriz B tal que AB y BA son la identidad de las matrices.

Ahora elija un ideal maximal M de R, y aplicar el cociente mapa de R para el campo R/M entrada sabio a la matriz. Ahora tienes dos matrices sobre un campo que se multiplican a las identidades en cualquier orden, dando un isomorfismo de espacios vectoriales. Ya sabemos que dos espacios vectoriales isomorfos tienen igual dimensión, m=n.

Answer 3

Un simple contraejemplo en el caso general es el siguiente.

Deje $k$ ser un campo, y deje $R$ ser el cociente de la libre álgebra en letras $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$ por el ideal generado por los elementos $$ x_1y_1+x_2y_2-1, \qquad y_1x_1-1, \qquad y_2x_1, \qquad y_1x_2, \qquad y_2x_2-1. $$ A continuación, el libre módulos de $R$ $R^2$ son isomorfos. Esto sigue a la vez, ya que las matrices $\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ son mutuamente inversas.

La dificultad aquí radica en que muestra que el anillo de $R$ no es trivial.