¿Existe una tasa de divergencia más lenta de una serie?

Question

$$f(n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$$ diverge más lentamente que $$g(n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{i}}$$ Con esto quiero decir que $\lim_{n\rightarrow \infty}(g(n)-f(n))=\infty$ . De la misma manera, $\ln(n)$ diverge tan rápido como $f(n)$ , como $\lim_{n \rightarrow \infty}(f(n)-\ln(n))=\gamma$ por lo que "divergen a la misma velocidad".

Creo que hay un número infinito de "velocidades de divergencia" (por ejemplo, $\sum_{i=1}^n\frac{1}{i^k}$ divergen a diferentes ritmos para diferentes $k<1$ ). Sin embargo, ¿existe una velocidad de divergencia más lenta?

Es decir, ¿existe una serie divergente, $s(n)$ , tal que para cualquier otra serie divergente $S(n)$ el límite $\lim_{n \rightarrow \infty}(S(n)-s(n))=\infty$ o $=k$ ? Si es así, ¿hay un número infinito de estas series más lentas?

Answer 1

La prueba que aparece en el artículo ``Ni la peor serie convergente ni la mejor serie divergente existe'' de J. Marshall Ash al que he hecho referencia anteriormente es tan bonita que he querido reproducirla a continuación antes de que se pierda en Internet.

$\bf{Theorem: }$ Dejemos que $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ sea cualquier serie convergente con términos positivos. Entonces, existe una serie convergente $\sum_{n=1}^{\infty} C_n$ con términos mucho más grandes en el sentido de que $\lim_{n\rightarrow\infty} C_n/c_n = \infty$ . Del mismo modo, para cualquier serie divergente $\sum_{n=1}^{\infty} D_n$ con términos positivos, existe una serie divergente $\sum_{n=2}^{\infty} d_n$ con términos mucho más pequeños en el sentido de que $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{d_n}{D_n} = 0$ .

$\bf{Proof: }$ Para cada $n$ , dejemos que $r_n = c_n + c_{n+1}+\cdots$ y $s_n = D_1 + \cdots + D_n$ . Dejar $C_n = \frac{c_n}{\sqrt{r_n}}$ y $d_n = \frac{D_n}{s_{n-1}}$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{C_n}{c_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{r_n}}=\infty$ y $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{d_n}{D_n} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{s_{n-1}} = 0$ Así que sólo queda comprobar $\sum C_n$ converge y que $\sum d_n$ diverge. Para comprobar que esto es así, basta con escribir $C_n = (1/\sqrt{r_n})(r_n-r_{n+1})$ y $d_n = 1/s_{n-1}(s_n-s_{n-1})$ ; observa que $\int_0^{r_1} 1/\sqrt{x}dx<\infty$ y $\int_{s_1}^{\infty} 1/xdx = \infty$ y observe que el $n$ término de la serie $\sum C_n$ es el área del rectángulo gris de la figura 1a, mientras que el $n$ término de la serie $\sum d_n$ es el área del rectángulo gris de la figura 1b.

Answer 2

Sólo para ampliar el tema de Raymond Manzoni y responder parcialmente a tu pregunta con una de las cosas más geniales que aprendí en mi infancia (como estudiante de matemáticas),

considerar la familia de las series,

$$\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n}&=&\infty \\ \sum \frac{1}{n\ln(n)}&=&\infty \\ \sum \frac{1}{n\ln(n)\ln(\ln(n))}&=&\infty \end{eqnarray}$$

y así sucesivamente. Todas ellas divergen y puedes utilizar la prueba integral para demostrarlo fácilmente. Pero aquí está el truco. La tercera serie en realidad requiere un número googolplex de términos antes de que los términos parciales superen el 10. Es natural que si el logaritmo natural es una función que aumenta lentamente, entonces el logaritmo del logaritmo diverge aún más lentamente.

Por otro lado, considere la familia,

$$\begin{eqnarray} \sum \frac{1}{n^2}&<&\infty \\ \sum \frac{1}{n(\ln(n))^2}&<&\infty \\ \sum \frac{1}{n\ln(n)(\ln(\ln(n)))^2}=38.43...&<&\infty \end{eqnarray}$$

todos convergen, lo que puede verificarse fácilmente utilizando de nuevo la prueba integral. Pero la tercera serie converge tan lentamente que requiere $10^{3.14\times10^{86}}$ términos antes de obtener la precisión de dos dígitos presentada. Hablando de acercarse al "límite" entre la convergencia y la divergencia. Usando esto se puede hacer fácilmente una serie que converja o diverja tan lentamente como se quiera. Así que para responder a tu pregunta, no existe "la serie que diverge más lentamente". Cualquier serie de divergencia lenta que elijas, podemos inventar una que diverja aún más lentamente.

Referencia: Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 30th ed. Boca Ratón, FL: CRC Press, 1996.

Answer 3

El Prueba de condensación de Cauchy permite encontrar una infinidad de series divergentes más lentas :

• $\displaystyle \sum \frac 1n\;$ se comporta como $\;\displaystyle \sum 2^n \frac 1{2^n}=\sum 1\;$ que diverge
• $\displaystyle \sum \frac 1{n\ln(n)}\;$ se comporta como $\;\displaystyle \sum 2^n \frac 1{2^n\;n}=\sum \frac 1n\;$ que diverge
• $\displaystyle \sum \frac 1{n\ln(n)\ln(\ln(n))}\;$ se comporta como $\;\displaystyle \sum 2^n \frac 1{2^n\;n\ln(n)}=\sum \frac 1{n\ln(n)}\;$ que diverge... QED.

(del libro de Chaitin "Algorithmic Information Theory")

Answer 4

Si tiene $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una serie divergente: $$\sum_{n=0}^N a_n \xrightarrow[N\to\infty]{}\infty$$ con $a_n > 0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ ), considere la serie con el término $$b_n\stackrel{\rm{}def}{=}\frac{a_n}{\sum_{k=0}^n a_k}.$$ Se puede demostrar que la serie $\sum b_n$ diverge.

Answer 5

Sea A(n) una función de Ackermann, sea $1_{A} $ sea su función indicadora (es decir $1_{A} (x)$ =1 si A(n)=x para algún n ; 0 en caso contrario). Entonces $\sum1_{A}^{}$ diverge. Una que diverge más rápido pero más interesante es $ s(0)=1, s(n+1)= s(n)+ \frac{1}{p_{n}s(n)}$ donde $p_{n}$ es el enésimo primo.