Sobre la inversa del Lemma de Schur

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $F$ un campo con $\mathrm{char}(F)=0$ o coprima a $|G|$ . Sea $V$ ser un $FG$ -de manera que cada $ FG$ -homorfismo $ f : V \to V $ viene dada por $f(x)= \lambda x $ . Entonces $V$ es irreducible.

Ya he conseguido demostrar esto por contradicción, utilizando el Teorema de Maschke. Podemos escribir $V$ como $U\oplus W$ y obtener un $FG$ -homorfismo $\pi:U\oplus W \to U\oplus W$ , $\pi (u+w)=u$ entonces $\pi(u+w)=\lambda (u+w)=u $ entonces $U$ o $W$ son triviales y por lo tanto $V$ es irreducible.

Mi pregunta es si esta afirmación sigue siendo válida si el carácter de $F$ divide el orden de $G$ ya que sólo he utilizado este hecho en mi demostración para utilizar el teorema de Maschke.

Answer 1

Hay contraejemplos en general.

Supongamos que $V$ es una extensión no dividida de dos módulos simples no isomorfos. Es decir, $V$ tiene un único submódulo simple $W$ con cociente simple $U=V/W$ donde $U\not\cong W$ . Entonces cualquier endomorfismo no nulo de $V$ es un isomorfismo, ya que el único núcleo posible es $W$ pero la imagen no puede ser $V/W=U$ desde $V$ no tiene ningún submódulo isomorfo a $U$ . Si, además, $U$ y $W$ tienen $F$ como anillo de endomorfismo, este isomorfismo debe ser un múltiplo escalar de la identidad.

Para un ejemplo explícito, dejemos que $G$ sea el grupo de triángulos superiores invertibles $2\times 2$ matrices sobre un campo finito $F$ con $\vert F\vert>2$ y que $V$ sea el natural $2$ -dimensional $FG$ -módulo.