Por qué Racionales Teorema de la Raíz sólo funciona con números enteros

Question

¿Por qué el racional de la raíz teorema sólo funcionan cuando el polinomio tiene coeficientes enteros?

Answer 1

La prueba de la Raíz Racional de la Prueba depende fundamentalmente del polinomio de coeficientes de ser números enteros. Recordemos la prueba. Supongamos $f(x)\in\Bbb Z[x]\,$ tiene un reducido racional raíz de $\,a/b,\,$ es decir $\,\gcd(a,b)=1.$

$$0 = f(a/b)\ \Rightarrow\ 0 = b^n f(a/b)\ =\, f_n a^n\! + f_{n-1} a^{n-1}b+\cdots+f_1 ab^{n-1}\! + f_0 b^n\quad$$

Por lo tanto, $\,\ (\overbrace{f_{n} a^{n-1}+f_{n-1}a^{n-2}b+\cdots+f_1 b^{n-1}}^{\large{\rm an\ integer,\ since}\,\ \color{#c00}{f_i}\ {\rm are\ integers}})\,a\,=\, -f_0 b^n,\ $ $\ a\mid b^n f_0\,\color{#0a0}{\Rightarrow}\, a\mid f_0,\ $ desde $\,\gcd(a,b)=1,\,\ a\mid bc\,\Rightarrow\,a\mid c,\,$ por Euclides del Lexema, así que, por inducción, $\,a\mid b^nc\,\color{#0a0}{\Rightarrow}\,a\mid c.$

Observe cómo la anterior prueba depende fundamentalmente del polinomio de coeficientes de $\,\color{#c00}{f_i\,\ \rm being\ integers},\,$, lo que implica que el overbraced término es un número entero y, por lo tanto, que el $\,a\mid b^n f_0.\,$ Exactamente lo mismo se aplica a la inversa de caso, que se deduce, de forma simétrica que $\, b\mid a^n f_n\,\Rightarrow\,b\mid f_n.$

Además de identificar donde la prueba se rompe, se elabora contraejemplos, por ejemplo, $\,x-c/d\,$ tiene una raíz $\,c/d\,$ que no tiene que ser un número entero. Menos triviales son cuadrática ejemplos

$\qquad (x-c/d)\,(x-d/c)\, =\, x^2-(c/d+d/c)\,x + 1\,$ tiene una raíz $\,c/d\,$ que no necesita ser $\,\pm1$.

Answer 2

Si los coeficientes son racionales, se puede multiplicar el polinomio por el mínimo común denominador para obtener un segundo polinomio de coeficientes enteros que tiene el mismo ceros. Racional de la raíz teorema se aplica.

Si los coeficientes son números irracionales, todas las apuestas están apagadas.