Ejemplos de Colectores tal que $\chi (X)=-3$

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de un sistema cerrado orientado colector de euler característica igual a $-3$. He tratado de usar $\chi (\underbrace{T^2\mathbin{\#}\cdots \mathbin{\#} T^2}_{\text{$g$ times}})=2-2g$ y con una acción libre de $Z_2$ ahí para quitarle el$2$, pero sin llegar a ninguna parte. Una sugerencia sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Algunos puntos.

1) Una orientada al colector $M$ que se produce como el límite de una orientada al colector $W$ necesariamente ha $\chi(M)$ incluso. Esto significa que no sólo son todas sus superficies no va a funcionar, pero tampoco es cualquier cosa que es el límite de un colector.

2) Cada impar dimensiones del colector de ha $\chi(M) = 0$ (incluso los no-orientado). Así que usted no puede probar que.

3) $\chi(M \# N) = \chi(M) + \chi(N) - 1 - (-1)^n$ donde $n$ es la dimensión de la $M$$N$. (Ya nos vale estar trabajando, incluso con las dimensiones de los colectores, esto solo dice $\chi(M \# N) = \chi(M) + \chi(N) - 2$.) Este dice, entonces, si usted puede encontrar un único colector con la característica de euler 1, usted puede encontrar uno con la característica de Euler -3, ya sea por conectar la suma con sí mismo cuatro veces o por conectar la suma algo de euler característica cero dos veces.

Así que usted sólo tiene que encontrar un buen colector de Euler característica 1. (En realidad, de cualquier número impar.) El primer lugar que usted puede posiblemente hacer esto es en la dimensión 4. ¿Sabes de algún buen colectores de allí?

Answer 2

Por la clasificación de superficies, cada cerradas orientadas a la superficie está conectado suma de tori, entonces usted no será capaz de encontrar un $2$-dimensional ejemplo. Por la dualidad de Poincaré, de puertas cerradas, impar-dimensiones del colector tiene la característica de Euler $0$, por lo que la dimensión más pequeña donde se puede encontrar un ejemplo es $4$.

Para encontrar una $4$-dimensional ejemplo, puede empezar con $\mathbb{C}P^2$, que tiene la característica de Euler $3$. Se puede ver una manera que usted puede modificar un cerrado orientado $4$-colector para disminuir su característica de Euler por $2$? A continuación, sólo tiene que repetir esto tres veces para obtener un $4$-colector de la característica de Euler $-3$.