He estado tratando de encontrar el límite, $$\lim _{ x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+6x+3x^2+3x^3+3x^4}-\sqrt[4]{1+8x+4x^2+4x^3-2x^4}}{6x^2}$$
y más o menos lo conseguí. Pero mi $0$ la respuesta no converge con lo que dice Wolfram que es $1/3$ . Por lo tanto, le agradecería mucho, si pudiera darme la respuesta correcta y dejar una pista sobre la solución.
Otro enfoque (aparte del mencionado en mis comentarios) es utilizar el Teorema Binomial. Sea la expresión denotada por $$\frac{u - v}{w}$$ y luego multiplicar el numerador y el denominador por $$t = u^{11} + u^{10}v + \cdots + v^{11}$$ para conseguir $$\frac{u^{12} - v^{12}}{wt}$$ y observe que, dado que $u, v$ ambos tienden a $1$ como $x \to 0$ la variable $t \to 12$ y por lo tanto el límite deseado es $$\frac{1}{72}\lim_{x\to 0}\frac{(1+6x+3x^2+3x^3+3x^4)^{4} - (1+8x+4x^2+4x^3-2x^4)^{3}}{x^{2}}$$ Como puede verse, el numerador puede escribirse como $$(1 + 24x + 228x^{2} + o(x^{2})) - (1 + 24x + 204x^{2} + o(x^{2}))$$ o $$24x^{2} + o(x^{2})$$ y por lo tanto la respuesta es $24/72 = 1/3$ .
A petición de OP la solución por series de Taylor se proporciona a continuación.
Tenemos la serie de Taylor para $(1 + x)^{n}$ para todos los reales $n$ como $$(1 + x)^{n} = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^{2} + o(x^{2})$$ como $x\to 0$ . Por lo tanto, $$(1+6x+3x^2+3x^3+3x^4)^{1/3} = 1 + 2x - 3x^{2} + o(x^{2})$$ y $$(1+8x+4x^2+4x^3-2x^4)^{1/4} = 1 + 2x - 5x^{2} + o(x^{2})$$ por lo que la respuesta ahora viene fácilmente como $1/3$ .
Sin Taylor ni el teorema del Binomio generalizado :
Utilizar la identidad
$$a^{12}-b^{12}=\\ (a-b)(a^{11}+a^{10}b^{1}+a^{9}b^{2}+a^{8}b^{3}+a^{7}b^{4}+a^{6}b^{5}+a^{5}b^{6}+a^{4}b^{7}+a^{3}b^{8}+a^{2}b^{9}+ab^{10}+b^{11}).$$
Al multiplicar/dividir por el "dodecanomio" conjugado, el numerador se convierte en el polinomio
$$(1+6x+3x^2+3x^3+3x^4)^4-(1+8x+4x^2+4x^3-2x^4)^3=\\ (1+24x+228x^2+\cdots81x^{16})-(1+24x+204x^2+\cdots-8x^{12}),$$
mientras que el denominador es una suma de $12$ expresiones racionales que tienden a $1$ . Así que después de la simplificación, el límite es
$$\frac{228-204}{6\cdot12}=\frac13.$$
Como alternativa, puede tirar de un factor $(1+2x)$ de ambos radicales y obtener
$$\frac{\sqrt[3]{1+\frac{-9x^2-5x^3+3x^4}{(1+2x)^3}}-\sqrt[4]{1+\frac{-20x^2-28x^3-18x^4}{(1+2x)^4}}}{6x^2}.$$
No es difícil demostrar que el desarrollo de Taylor producirá
$$\frac{(1-\frac93x^2+\cdots)-(1-\frac{20}4x^2+\cdots)}{6x^2}.$$
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