Hola estoy tratando de evaluar la integral $$ \mathcal{I}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty J^3_0(x) e^{i\omega x}\mathrm dx $$ analíticamente. También podemos escribir $$ \mathcal{I}(\omega)=\mathcal{FT}\big(J^3_0(x)\big) $ $ , que es la transformada de Fourier de el cubo de la función de Bessel. La función de Bessel de $J_0$ está dada por $$ J_0(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ix\sen t} \mathrm dt. $$ Si ayuda, podemos representar el cubo de la función de Bessel por $$ J^3_0(x)=-3\int J^2_0(x) J_1(x) \mathrm dx, \ \ \ \ \ J_1(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{i(t-x\sen t)} \mathrm dt. $$ En general $$ J_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{i(nt-x\sen t)}\mathrm dt. $$ Las transformadas de Fourier de la función de Bessel y sus cuadrado está dada por $$ \mathcal{FT}\big(J_0(x)\big)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\theta(\omega+1)-\theta(\omega-1)}{\sqrt{1-\omega^2}} $$ y $$ \mathcal{FT}\big(J^2_0(x)\big)=\frac{\sqrt{2}K\big(1-\frac{\omega^2}{4}\big)\big(\theta(-\omega-2)-1\big)\big(\theta(\omega-2)-1\big)}{\pi^{3/2}} $$ donde K es la elíptica-K de la función y $\theta$ es la función escalón unitario. Sin embargo necesito el cubo...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Resulta que la transformada de Fourier de $J_0^3$, todavía puede ser expresado en términos de completar las integrales elípticas, pero es considerablemente más complicado que la fórmula para ${\cal FT}(J_0^2)$: para empezar, se trata de las períodos de una curva de $E$ se define más de ${\bf C}$ pero (a excepción de algunos valores especiales de $\omega$) no más de ${\bf R}$.
Se asume que $|\omega| < 3$, otro de $I(\omega) = 0$. A continuación, la correspondiente curva es $$ E : Y^2 = X^3 - \bigl(\frac{3}{4} f^2 + \frac{27}{2} f - \frac{81}{4}\bigr) X^2 + 9 f^3 X $$ donde $$ f = \frac12 \bigl( e + 1 + \sqrt{e^2-34e+1} \bigr) $$ y $$ e = \bigl( |\omega| + \sqrt{\omega^2-1} \, \bigr)^2. $$ Deje que $\lambda_1, \lambda_2$ ser los generadores del período de celosía de $E$ con respecto al diferencial de $dx/y$ (tenga en cuenta que estos son dos veces los períodos que gp informes, porque gp integra $dx/2y$ por razones provenientes de la aritmética de curvas elípticas). Entonces: si $|\omega| \leq 1$ entonces $$ I(\omega) = \left|\,f\,\right|^{5/2}\, \left|\,f-1\right| \frac{\Delta}{(2\pi)^2}, $$ donde $\Delta = \bigl|{\rm Im} (\lambda_1 \overline{\lambda_2}) \bigr|$ es el área de la época de celosía de $E$. Si $1 \leq |\omega| \leq 3$ $$ I(\omega) = \left|\,f\,\right|^{-4}\, \left|\,f-1\right|^5 (3/2)^{13/2} \frac{\Delta'}{(2\pi)^2}, $$ donde $\Delta' = \bigl| {\rm Re}(\lambda_1 \overline{\lambda_2}) \bigr|$ para una elección adecuada de los generadores de $\lambda_1,\lambda_2$ (estos "apropiado" generadores de satisfacer $|\lambda_1|^2 = \frac32 |\lambda_2|^2$, que determina de forma exclusiva hasta $\pm$, excepto para un número finito de opciones de $\omega$).
La prueba, por desgracia, es demasiado largo para reproducir aquí, pero aquí es la idea básica. La transformada de Fourier de $J_0$ $(1-\omega^2)^{-1/2}$ para $|\omega|<1$ y cero de otra cosa. Por lo tanto las transformadas de Fourier de $J_0^2$ y $J_0^3$ son la convolución cuadrado y el cubo de $(1-\omega^2)^{-1/2}$. Por $J_0^2$, esta convolución de la plaza se admite en $|\omega| \leq 2$, y en este rango es igual a $$ \int_{t=|\omega|-1}^1 \left( (1-t^2) (1-(|\omega|-t)^2) \right)^{-1/2} \, dt, $$ que es un período de una curva elíptica [es decir, la curva de $u^2 = (1-t^2) (1-(|\omega|-t)^2)$], una.k.una. una completa eliptic integral. Por $J_0^3$, asimismo, conseguir una de dos dimensiones integral, a través de un hexágono para $|\omega|<1$ y un triángulo de $1 \leq |\omega| < 3$, que es un período de la superficie 3d $$ u^2 = (1-s^2) (1-t^2) (1-(|\omega|-s-t)^2). $$ (El cambio de fase en $|\omega|=1$ ya se comentó aquí en un ahora eliminado respuesta parcial.) En general, los períodos de K3 superficies son difíciles de calcular, pero este resulta que tiene suficiente estructura que podemos convertir el período en un período de la superficie $E \times \overline E$ donde $\overline E$ es el complejo conjugado.
Ahora, para ser honesto, sólo tengo las fórmulas de la "correspondencia" entre nuestro 3d de la superficie y $E \times \overline E$, lo que era bastante difícil de hacer, pero no de seguir la pista de la escuela primaria, el factor multiplicador que me dicen ser de $\left|\,f\,\right|^{5/2}\, \left|\,f-1\right|$ o $\left|\,f\,\right|^{-4}\, \left|\,f-1\right|^5 (3/2)^{13/2}$. Obtuve estos factores mediante la comparación de los valores numéricos de los pocos opciones de $\omega$ para que yo era capaz de calcular $I(\omega)$ de alta precisión (básicamente los números racionales con un numerador o denominador); por ejemplo, $I(2/5)$ puede ser calculado en gp en menos de un minuto
intnum(x=0,5*Pi,2*cos(2*x/5) * sumalt(n=0,besselj(0,x+5*n*Pi)^3))
No fueron suficientes $c$, y las fórmulas son lo suficientemente simples, que son prácticamente seguro de ser la correcta.
Aquí el gp de código para obtener $e$, $f$, $E$, y los generadores de $\lambda_1,\lambda_2$ el período de celosía:
e = (omega+sqrt(omega^2-1))^2
f = (sqrt(e^2-34*e+1)+(e+1)) / 2
E = ellinit( [0, -3/4*f^2-27/2*f+81/4, 0, 9*f^3, 0] )
L = 2*ellperiods(E)
lambda1 = L[1]
lambda2 = L[2]
NB la última línea requiere el uso de gp de la versión 2.6.x; las versiones anteriores no aplicar directamente los períodos de curvas de más de $\bf C$.
Por $\omega=0$ tenemos $e=1$, $f=3$, y $E$ es la curva de $Y^2 = X^3 - 27 X^2 + 243 X = (X-9)^3 + 3^6$, así que los plazos pueden ser expresados en términos de la beta funciones y recuperamos el caso de que $\nu=0$ de la Pregunta 404222, Cómo demostrar que $\int_0^\infty J_\nu(x)^3dx\stackrel?=\frac{\Gamma(1/6)\ \Gamma(1/6+\nu/2)}{2^{5/3}\ 3^{1/2}\ \pi^{3/2}\ \Gamma(5/6+\nu/2)}$? .
