Probando una fórmula cuadrática alternativa

Question

Es bien sabido que la fórmula cuadrática para $ax^2+bx+c=0$ está dada por $$x= \dfrac {-b \pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a} \tag1 $$ Donde $a \ne0 $ . Sin embargo Leí en otra parte que dado $ax^2+bx+c=0$ tenemos otra solución para $x$ como $$x= \dfrac {-2c}{b \pm\sqrt {b^2-4ac}} \tag2 $$ Donde $c \ne0 $ . De hecho, $(2)$ da soluciones para $0x^2+bx+c=0$ !

Pregunta:

1. ¿Cómo probaría $(2)$ ?
2. ¿Por qué es $(2)$ algo similar a $ \dfrac 1{(1)}$ pero con $2a$ reemplazado por $-2c$ ?

Answer 1

Puedes escribir $ax^2+bx+c=0$ como $a+b(\frac 1x)+c(\frac 1x)^2=0,$ resolver para $\frac 1x$ y luego invertirlo. Puedes tener el signo menos arriba o abajo como quieras multiplicando arriba y abajo por $-1$

Answer 2

Toma (2), y racionaliza el denominador:

$$\frac{-2c}{b \pm \sqrt{b^2-4ac}} = \frac{-2c}{b \pm \sqrt{b^2-4ac}}\frac{b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{b \mp \sqrt{b^2-4ac}} = $$ $$\frac{-2c(b\mp\sqrt{b^2-4ac})}{b^2-(b^2-4ac)} = \frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Answer 3

Sólo para divertirse, aquí hay otras "fórmulas cuadráticas" $(a>0):$

para $|\frac{b^2}{2a}-2c-1|\le1:$

$$x=-\frac b{2a}\pm\frac1{\sqrt a}\cos\left(\frac12\arccos\left(\frac{b^2}{2a}-2c-1\right)\right)$$

para $\frac{b^2}{2a}-2c-1>1:$

$$x=-\frac b{2a}\pm\frac1{\sqrt a}\cosh\left(\frac12\operatorname{arccosh}\left(\frac{b^2}{2a}-2c-1\right)\right)$$

Puedes jugar con algunos gráficos aquí si quieres.

Answer 4

Hay algunos errores en la pregunta tal y como está planteada.

En primer lugar, la fórmula cuadrática es $$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac} }{2a}$$ Obsérvese el factor de $a$ en el denominador, que falta en el PO. [ EDITAR -- Veo que esto se ha arreglado ahora].

En segundo lugar, escribes:

De hecho, (2) da soluciones para $0x^2+bx+c=0$ ¡!

Esto no es cierto, y ni siquiera tiene sentido. La ecuación $0x^2+bx+c=0$ equivale a $bx = -c$ cuya única solución es $x=-c/b$ (suponiendo que $b\ne 0$ ).

En cualquier caso, para convertir (1) en (2), basta con multiplicar por $-b \mp \sqrt{b^2-4ac}$ tanto en el numerador como en el denominador:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac} }{2a} \cdot \frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}$$ El numerador tiene ahora la forma $(X \pm Y)(Y \pm X)$ que se simplifica en $X^2-Y^2$ . Así que tenemos $$x = \frac{1}{2a} \frac{ \left( -b \right)^2 - \left(b^2-4ac\right)}{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}$$ La limpieza, el $(-b)^2-b^2$ en el numerador se anula; el $2a$ en el denominador se reduce contra el $4ac$ en el numerador, dejando sólo $2c$ y puedes mover un signo negativo fuera del denominador y dentro del numerador, dando la forma alternativa de la fórmula cuadrática que querías.

Finalmente, usted pregunta

¿Por qué (2) es algo similar a $\frac{1}{(1)}$ pero con $2a$ sustituido por $2c$ ?

Como dice Ross Millikan en su respuesta, si en la ecuación original $ax^2 + bx + c =0$ asumimos que $x=0$ no es una solución (lo que equivale a suponer que $c\ne 0$ ), entonces podemos dividir toda la ecuación por $x^2$ , obteniendo $$c \left(\frac{1}{x}\right)^2 + b\left(\frac1x\right) + a = 0$$ Si ponemos $u=\frac1x$ entonces esto es $cu^2 + bu + a = 0$ y la ecuación cuadrática nos dice $$u = \frac{ - b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2c}$$ Finalmente obtenemos $$x = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}$$ y puedes sacar el signo negativo del denominador al numerador. Así que la razón por la que las ecuaciones son tan similares es por una dualidad en la ecuación: intercambiar $a$ con $c$ y simultáneamente sustituir $x$ con $1/x$ cambia una ecuación cuadrática por otra equivalente.