¿Podemos hacer integrales de trayectoria en teorías gauge sin fijar un gauge?

Question

Soy consciente de que cuando se cuantifican las teorías gauge con una integral de trayectoria, hay que añadir un término de fijación gauge para evitar el sobreconteo de las configuraciones de campo relacionadas con la gauge. Desde una perspectiva estética, este procedimiento me parece desagradable. Me gustaría saber si hay alguna propuesta para evitar añadir este término en el Lagrangiano, y poder hacer la integral de trayectoria sin fijar una galga.

Answer 1

Estás malinterpretando lo que es una teoría gauge si crees que no debería deshacerse de la simetría gauge en algún momento. Una simetría gauge no es como otras simetrías, no relaciona configuraciones de las variables dinámicas que son físicamente distintas, sino que relaciona configuraciones de las variables dinámicas que son físicamente indistinguibles . Hay no diferencia detectable entre cualquier configuración y su versión transformada por el gauge en absoluto . A diferencia de, por ejemplo, una simetría rotacional en la que un vector que apunta en una dirección es distinto de su versión rotada, en este caso, no hay realmente ninguna distinción físicamente significativa entre las configuraciones relacionadas por las simetrías gauge. Véase también, por ejemplo, esta pregunta , esta pregunta , esta pregunta y más.

Las simetrías gauge reflejan redundancia en las variables tenemos elegido para describir el sistema, son totalmente características de un elección y no propiedades inherentes al sistema físico considerado, como por ejemplo la simetría rotacional. Por lo tanto, no hay necesidad de tratar de preservar esta simetría - si se pierde en una descripción equivalente pero más conveniente del sistema, no deberíamos dudar. Es un hecho curioso que con bastante frecuencia la descripción teórica gauge resulta ser la más conveniente.

Excepto, por supuesto, cuando queremos hacer cosas como la integral de trayectoria. Tomar la integral de trayectoria ingenua sobre una acción con simetría gauge que no ha sido fijada es manifiestamente absurdo físicamente: Estás integrando sobre un espacio de variables dinámicas, donde cada configuración de las mismas tiene infinitas configuraciones diferentes que describen el exactamente el mismo estado del mismo sistema físico y se está integrando sobre todos ellos. ¿Qué se supone que es esto? Ciertamente es no la integral sobre todos los caminos físicos posibles, los está sobrecontando masivamente y no tienes forma de controlar la manera en que lo hace.

Lo natural físico La integral de la trayectoria es una que se integra sobre cada configuración físicamente distinta una vez. Cuando fijamos completamente un indicador, esto es exactamente lo que hace la fijación del indicador: De todas las posibles configuraciones equivalentes, la condición gauge escoge uno y sólo un representante, y entonces deseamos integrar sobre este espacio de representantes, ya que es el espacio de las configuraciones físicamente distintas. Desgraciadamente, Ambigüedades de Gribov significa que, por lo general, no podemos hacerlo en todo el espacio de configuraciones de campo y podemos quedarnos atascados definiendo la integral de la trayectoria sólo en un subconjunto de configuraciones físicas, la llamada región de Gribov.

Por lo tanto, no es razonable esperar que haya una integral de trayectoria sin fijar un calibre. La integral de trayectoria, por su propio propósito, debe integrarse sobre el espacio de todas las configuraciones físicamente distintas, y la forma de lograrlo en una teoría gauge es algún tipo de fijación gauge, no hay forma de evadir este hecho.

Answer 2

A día de hoy, nadie sabe cómo cuantificar canónicamente una teoría clásica con simetrías gauge. El enfoque estándar (algoritmo de Dirac), en el que se sustituyen los corchetes canónicos por (anti)conmutadores, no tiene sentido si la forma simpléctica es degenerada. Véase Cuantización de los sistemas gauge de Marc Henneaux y Claudio Teitelboim para una discusión completa de esto. En la práctica, para formular una teoría consistente en el formalismo canónico hay que eliminar primero las simetrías gauge, ya sea convirtiéndolas en restricciones (de segunda clase) o mediante métodos más elaborados.

Un segundo enfoque más directo es seguir la cuantificación de Feynman, donde postulamos que los elementos de la matriz se pueden calcular a partir de una integral funcional, $$ A\sim\int a(\varphi)\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\ \mathrm d\varphi $$

Los intentos de formalizar la integral anterior con toda la generalidad necesaria han fracasado. Una posible aproximación, discretizar el espacio de configuraciones de campo, tiene dos posibles resultados: la formulación de la red rompe la invariancia gauge (en cuyo caso hemos fijado esencialmente el gauge por medio de la regularización), o no lo hace (en cuyo caso la integral diverge, ya que estamos integrando sobre $\mathbb R^n$ una función que no decae en algunas direcciones). En cualquier caso, vemos que una aplicación ingenua del enfoque de Feynman tampoco puede funcionar.

Incluso en el sentido más pragmático, la teoría cuántica está mal definida en presencia de simetrías gauge: si convenimos en eludir todas las manipulaciones formales y definir la teoría a través de sus reglas de Feynman (formalmente hablando, a través de La fórmula de Hori ), $$ Z[J]\sim \mathrm e^{iS_\mathrm{int}[\delta]}\mathrm e^{-\frac i2 J\cdot \Delta\cdot J} $$ donde $\Delta$ es la inversa de la parte cuadrática del Lagrangiano, el programa falla, porque $$ \mathcal L_0\equiv\frac 14 F^2 $$ no es invertible.

Ninguno de estos enfoques parece funcionar. El problema se remonta a las representaciones del Grupo de Poincaré. Se puede demostrar, utilizando las propiedades del grupo de Poincaré pero nada sobre los Lagrangianos o las integrales de trayectoria, que el propagador de un campo vectorial arbitrario es $$ \Delta(p)=\frac{-1+pp^t/m^2}{p^2-m^2}-\frac{pp^t/m^2}{p^2-\xi m^2} $$ donde $m$ es la masa del espín $j=1$ partículas creadas por el campo vectorial, y $\xi\equiv m^2/m_L^2$ , donde $m_L$ es la masa del espín $j=0$ partículas creadas por el campo vectorial.

Es fácil comprobar que los límites $\xi\to\infty$ y $m\to 0$ están bien definidos por separado, pero no se pueden tomar ambos límites al mismo tiempo. Esto significa que no se puede tener, al mismo tiempo, un campo vectorial que cree un espín sin masa $j=1$ partículas y ningún estado longitudinal. Por lo tanto, debe

• utilizar partículas masivas, como en el lagrangiano de Proca,
• aceptar que puede haber estados normativos negativos, como en $R_\xi$ QED,
• o que el campo que crea las partículas no es un vector, como en la QED en el gauge de Coulomb.

En el primer caso, el término $\frac 12 m^2 A^2$ y en el segundo caso el término $\frac 12\xi^{-1}(\partial\cdot A)^2$ rompe la invariancia gauge del Lagrangiano. En el tercer caso, el gauge está fijado por una restricción. En ninguno de estos casos la lagrangiana es invariante gauge.

Answer 3

En la teoría gauge de celosía, en una celosía finita, el volumen $vol(\mathcal{G})$ del grupo de transformaciones del grupo es finito, ya que $\mathcal{G}$ es un producto finito de copias del grupo gauge $G$ . La integral $\int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$ sobre el espacio de conexiones de la red también es finito. En consecuencia, se pueden calcular los valores de las expectativas sin hacer ninguna fijación de gauge, simplemente calculando $$ \frac{1}{vol(\mathcal{G})} \int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi $$ que es igual a $\langle \mathcal{O} \rangle = \int_{\mathcal{F}/\mathcal{G}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$ siempre y cuando el observable $\mathcal{O}$ es invariante gauge.

La fijación de galgas es conveniente desde el punto de vista computacional, especialmente para el emparejamiento con la teoría de perturbaciones de corta distancia, pero no es realmente necesaria.