Irreductibilidad del espacio de divisores en una curva

Question

Dejemos que $X$ sea una curva suave proyectiva e irreducible sobre un campo $k$ . Además, defina $$ X_d = \{ \text{ Effective Cartier divisors of degree } d \text{ on } X \;\} $$ y $$ W_d = \{ \text{ Line bundles of degree } d \text{ on } X \;\}. $$ ¿Cuál es la mejor manera de dar a los conjuntos anteriores una estructura de esquema y demostrar que esos esquemas son irreducibles?

No estoy seguro, intuitivamente, si la irreductibilidad se mantiene en general o si necesitamos más suposiciones sobre $X$ y/o $k$ .

PS: Una manera de dar una estructura de esquema a $X_d$ es la siguiente: Supongamos que $X$ es un esquema sobre otro esquema $S$ y considerar el functor $$ Div^d_{X/S}: Sch_S \to Set, \quad T\mapsto \{ \text{ Relative eff Car divisors of deg } d \text{ on } X_T/T \; \} $$ y asumir que es representable (esto es cierto para $X$ curva como la anterior). Entonces se define $X_d$ como la representación de $S$ -esquema.

Podemos definir $W_d$ de manera similar con un functor apropiado $\;Sch_S \to Set$ .

Answer 1

Divisores efectivos de grado $d$ puede verse como el producto simétrico $\mbox{Sym}^d(X):=X^d/S_d$ donde $S_d$ es el grupo simétrico en $d$ cartas. $X^d$ es irreducible ya que $X$ es, y así $X^d$ y $\mbox{Sym}^d(X)$ reciben una estructura natural de variedad.

En cuanto a $W_d$ , identifique $JX$ el jacobiano de $X$ con $\mbox{Pic}^0(X)$ . Dejemos que $L_d$ sea un haz de líneas de grado $d$ en $X$ y definir el mapa $\mbox{Pic}^0(X)\to\mbox{Pic}^d(X)$ donde $L\mapsto L\otimes L_d$ donde $\mbox{Pic}^d(X)$ denota el conjunto de haces de líneas de grado $d$ en $X$ . Se trata de un isomorfismo (no canónico), y como $JX$ es irreducible y tiene estructura de variedad, obtenemos lo mismo para $\mbox{Pic}^d(X)$