Presentación de un grupo de pregunta

Question

Así que yo sé que una presentación de un grupo de $G$, se puede derivar de las relaciones de la presentación de un grupo de cualquier elemento en el grupo $G$ a la derecha. Sin embargo, sí tengo un poco de confusión.

Si tomamos $G=Q_8$ , el famoso no-conmutativa grupo (grupo de Cuaterniones), sabemos que la presentación de un grupo de $Q_8$ es de la siguiente manera

$$\large{Q_8 = \big<i,j \space \big| \space i^4 = 1, j^2 = i^2, j^{-1}ij = i^{-1} \big>}$$

Ahora se argumenta que uno puede encontrar en cualquier elemento del grupo $Q_8$ el uso de las relaciones dadas en una presentación a un grupo.

Ahora quiero encontrar a $k$, porque sé que $k \in Q_8$, y sé que $ij = k$. ¿Cómo puedo encontrar a $ij$ a partir de estas relaciones.

Aquí está mi intento de

$i^4=1 \implies i^2i^2 = 1$y ya sabemos que $i^2 =j^2$ así que tenemos que $i^2i^2= 1 \implies i^2j^2 =1$. Ahora he dejado de multiplicarse por $i^{-1}$ y derecho multiplicar por $j^{-1}$ ambos lados de la ecuación para terminar con $ij = i^{-1}j^{-1}$ y ya sé que $i^{-1} = j^{-1}ij$ yo $ij = j^{-1}ijj^{-1}$ y de ahí llego $ij = j^{-1}i$.

La cosa es que yo nunca encontrará $k$. Básicamente mi pregunta es la siguiente

Dada una presentación a un grupo , ¿cómo podemos encontrar todos los elementos utilizando las relaciones en una presentación a un grupo, incluso a pesar de que todos los elementos pueden no aparecer en la presentación de un grupo. Se ve que no hay $k$ de lo que nunca en la presentación de un grupo de $Q_8$. Así que, ¿cómo voy a ser capaz de encontrarlo ? Por lo tanto debemos hacer la vida más fácil, e incluyen todos los elementos en una presentación a un grupo. Incluso si hiciéramos eso, no hay ningún indicio de que $ij = k$ en el grupo de presentación, Uno debe saber antes de la mano de esta relación o de lo contrario, ¿cómo puede incluso derivar de ella. También se puede obtener $ij$, pero entonces no puede ser capaz de saber qué es $ij$ es igual de todas formas"

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Tengo este desde dummit página del libro(219) en la sección a de la palabra libre en grupos (sección 6.3)

Gracias por tomarse el tiempo de leer mi pregunta :)

Answer 1

Bueno, la cosa es, que hizo encontrar $k$ - es solo que no salgan nombrado $k$, por así decirlo. Todo lo que usted sabe acerca de $k$ será igual de cierto para $ij$ aquí, sólo se ve un poco diferente (pero sólo superficialmente).

A partir de la presentación, usted sabe que $ij$ está en el grupo que se presenta, porque es un grupo, y debe ser cerrado bajo la operación.

Como Matt Samuel dijo en los comentarios, las presentaciones no son siempre agradable - y a menudo son bastante exigentes, de cómputo. Pero, con pura fuerza de voluntad, que a menudo puede luchar una presentación de este tipo para aprender más acerca de su grupo. Aquí está la forma en que me iba a acercarse a ella, pero yo no se las reclamaciones de eficiencia!

Descargo de responsabilidad: Trabajar con presentaciones es como un ejercicio en el uso de identidades algebraicas docenas de veces; me parece una cosa increíblemente difícil de seguir mirando el trabajo de alguien, pero moderadamente divertido hacerlo una vez o dos veces al año. Así, usted probablemente querrá seguir junto con un lápiz y papel, si usted realmente desea para digerir esto.

Desde $i^4 = 1$, debemos tener la $\langle i \rangle = \{1, i, i^2, i^3\}$ es un subgrupo cíclico. Y, desde $i^2 = j^2$, podemos comprobar que $\langle j \rangle$ es otro subgrupo cíclico de cuatro. Excepto que, además, se puede limpiar mediante el uso de un par de relaciones, a ver que $\langle j \rangle = \{1, j, j^2, j^3\} = \{1, j, i^2, i^2j\}$.

Hasta ahora, hemos identificado seis elementos únicos: $1, i, j, i^2, i^3,$$i^2j$. Pero, no hemos aprendido mucho acerca de la $ij$, así que vamos al menos a su fin ahora. Tenga en cuenta que por la relación $j^{-1}ij = i^{-1}$, sabemos que $iji = j$ (a la derecha multiplicar por $i$, y a la izquierda multiplicar por $j$). Ahora

$$(ij)^2 = \underbrace{iji}_j\cdot j = j^2 = i^2,$$

y por el mismo razonamiento anterior, sabemos que $\langle ij \rangle = \{1, (ij), (ij)^2, (ij)^3\} = \{1, ij, i^2, i^3j\}$.

Así que ahora nuestra lista de elementos que contiene \begin{array}{cccc} 1 & i & i^2 & i^3 \\ j & ij & i^2j & i^3j \end{array} al menos. Ahora, con el fin de mostrar que hemos encontrado de todo, vamos a tener que demostrar que la multiplicación (en cualquier lado) por $i$ o $j$ nos da algo de esta lista. Por supuesto, a la izquierda de la multiplicación por $i$, y a la derecha de la multiplicación por $j$, va a ser visto fácilmente para devolvernos algo de la lista.

En general, sería agradable ser capaz de poner todos nuestros productos en la forma $i^mj^n$, punto en el cual mostraremos $m \in \{0, 1, 2, 3\}$$n \in \{0, 1\}$, y nuestra lista es realmente exhaustivo. Para llegar a esta forma, el colector $[j, i] = j^{-1}i^{-1}ji$ va a ser muy útil, como $ij[j, i] = ji$. Vamos a ver que $[j,i]$ nos va a permitir dejar el $i$'s y $j$'s de cambiar de lugar si estamos dispuestos a pagar el colector de precio. Vamos a ver que aquí, $[j, i] = i^2 = j^2 = (ij)^2$. Pruébelo usted mismo, lo que sigue es de una manera.

Desde $j^{-1}i^{-1} = (ij)^{-1} = i^3j$, tenemos

$$j^{-1}i^{-1}ji = i^3jji = i^3j^2i = i^3i^2i = i^2.$$

En la práctica, esto es bastante útil. Vamos a recoger $i^2j$ de nuestra lista de arriba, y a la derecha multiplicar por $i$, tratando de simplificar $i^2ji$ para darle la forma $i^mj^n$. Ya sabemos que $ji = ij[j,i] = iji^2 = ijj^2 = ij^3$, tenemos

$$i^2ji = i^2(ij^3) = i^3j^3 = i^{-1}j^2j = i^{-1}i^2j = ij,$$ algo de nuestra lista.

Me ahorraré el resto (verificación de la lista es verdaderamente exhaustiva), porque es más esclarecedor sólo para excavar y ver lo que usted puede imaginar. Pero espero que darle más de una idea de cómo es que tal cosa puede funcionar, en la práctica. Usted podría dar un paso más y construir la tabla de multiplicar, o verificar que todas las cosas que usted sabe acerca de $Q_8$, utilizando el elemento de la lista aquí.

Para algunos grupos, presentaciones son realmente agradable, básicamente, puede contraer la tabla de multiplicación del diedro grupos en un $2 \times 2$ tabla (reflexiones y rotaciones), el uso de las presentaciones.