La intuición detrás de espacios topológicos

Question

Estoy estudiando la topología desde hace un par de meses y nunca he cogido una buena intuición de los espacios topológicos, pero ahora creo que lo hice.

Mi intuición es la siguiente; como muchas personas, punto de open establece la captura de una noción de cercanía, (pero yo no entiendo la manera exacta de esta cercanía de la intuición),los puntos en el abierto de los conjuntos de cerca, y dos puntos en distintos bloques abiertos están lejos, y entonces los axiomas intenta capturar las conductas de los abre.

Para encontrar una buena intuición he trabajado con dos ejemplos de espacios que he nombrado a y B; A=[{a,b,c,d,e,f},({a,b,c,d,e,f},{},{a,b,c,e,f},{e,f},{a,b},{a,b,d,e,f},{a,b,e,f})], B=[{a,b,c,d,e,f},({a,b,c,d,e,f},{},{a,b,c,e,f},{a,b,d,e,f},{a,b,e,f})] y he obtenido las siguientes fotos (y aquí está mi primera pregunta: ¿es ésta la correcta espacial representaition de los espacios? Una es en el derecho, B es la izquierda, los círculos negros representan los puntos):

Y, a continuación, la unión axioma permite establecer diferentes grados de cercanía, específicamente la abre que no son de la unión de otros abre tiene cerca de puntos, y los sindicatos tienen puntos más cerca que otros de los puntos que no lo son. Concretamente en el espacio; {e,f} y {a,b} está más cerca que c y d, entonces los sindicatos permiten hablar de un "global" cercanía.

La intersección axioma también hablar de diferentes grados de cercanía, en el sentido de que si tenemos cerca de puntos y tenemos cerca de otros puntos que tienen puntos en común, entonces, que los puntos están cerca, y de hecho están más cerca, y así la intersección de hablar de un "local" en la cercanía.

Y, finalmente, el axioma de los necesarios para los miembros del propio espacio y el conjunto vacío, garantiza el hecho de que "no hay nada fuera del espacio" o de la totalidad del espacio y en ese sentido todos los puntos que están cerca en el espacio.

Es esta una buena intuición? si no, por favor, dame una buena.

Answer 1

Su deseo de una métrica libre de la intuición es, en cierto sentido, inútil debido al hecho de que cada espacio topológico $(X,\tau )$ es metrizable mientras por metrizable que significa la existencia de un valor quantale $V$ (de un cierto axiomatization de algunas de las propiedades de $\mathbb R$), junto con una función de $d:X\times X\to V$ satisfacción $d(x,x)=0$$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$, tal que el abrir de una pelota de topología de esta métrica es la topología original.

Esto se explica en detalle en todas las topologías venir desde generalizada métricas por Ralph Kopperman y Quantales y la continuidad de los espacios por Robbert Flagg.

Answer 2

Es mucho mejor si usted comienza con un conocido espacio topológico, sugiero que el número real de sistema de $\mathbb R$, y ver cómo los axiomas de aplicación. Recuerde que un conjunto $U$ de los números reales es abierto si $\forall x\in U$ hay $\varepsilon>0$ de manera tal que todos los números dentro de una distancia de $\varepsilon$$x$$U$. Así que su primera tarea es verificar que un "intervalo abierto" como $\langle0,1\rangle$ (el conjunto de los números estrictamente entre el$0$$1$) está abierto de acuerdo a esta definición. Que es el principio de su intuición. Ahora muestran que el "intervalo cerrado" $[0,1]$, es decir, el conjunto de los números entre el $0$ $1$ incluyendo los extremos, es no abrir. Demostrar que la intersección de dos conjuntos es abierto. Demostrar que cualquier unión de abiertos es abierta. Demostrar que el conjunto vacío está abierto. Ya ha demostrado que el conjunto total $\mathbb R$ está abierto, ¿por qué? ¿Por qué $0$ es "cercano" a $\langle0,1\rangle$ sin estar en este conjunto abierto?