La "diversión" pregunta: alguien sabe por qué $e$ (el Número de Euler), fue elegido para las funciones de onda?

Question

En primer lugar, permítanme decir que esto es simplemente algo que siempre me he preguntado acerca de, y puede que nunca parecen encontrar una buena referencia. Simplemente quiero saber... el friki que hay en mí.

¿Por qué se $e$ (el Número de Euler) elegido para la función de onda descripciones? Por ejemplo:

$$\Phi(x, t) = Ae^{i(kx - \omega t)}$$

Es realmente el $i$ que está haciendo el trabajo de hacer un forma circular, mientras que el $e$ es simplemente hacer que la escala más fácil de lo que estamos acostumbrados. Por ejemplo, vamos a comparar los $2^{ix}$ frente al $e^{ix}$. Al $x=0$, ambos son 1. Para conseguir ambos para llegar a $i$, $x = \pi / 2$ para$e^{ix}$$x \approx 2.26618$$2^{ix}$. Del mismo modo, para todos los otros cuadrantes del círculo, un factor equivalente se puede encontrar para $2^{ix}$, la escala linealmente, por supuesto.

Así, el escalamiento puede tener un aspecto un poco menos "bastante", pero es completamente funcional el uso de $2^{ix}$ en lugar de $e^{ix}$.

Así que, supongo que mi pregunta es doble:

• ¿Por qué es la ecuación de onda usando $e$, otros que porque los suministros de la "correcta" factor de escala para hacer más amigable con la circular ecuaciones? (I. e., $2 \pi = 0$, nos trae de vuelta a donde empezamos.)

• De qué se trata, $e$ que hace que la escala de trabajo? El número de Euler se deriva de $ \lim \ (1 + 1/n)^n$ , lo que no me sugieren nada en particular circular. (De hecho, a partir de esa definición, también no inmediatamente sugieren por qué es derivada es igual a sí mismo, sino que es una cuestión diferente para otro día!) Sólo parece horrible inesperado para mí, tanto, que me hace sospechar que una conexión no sé...

  Gracias de antemano!
  
  Mike

Answer 1

Es probable que se basa en el hecho de que

$$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$$

mientras que

$$2^{ix} = \cos{(\ln{(2)} x)} + i\sin{(\ln{(2)}x)}$$

lo que conduce a feo fórmulas.

EDITAR: Este es un gran recurso, por John Cook, sobre el por qué de $e$ se utiliza: http://www.johndcook.com/blog/2012/11/15/logarithms/ Se ocupa de los logaritmos, pero todos los argumentos se mantienen aquí.

DOBLE EDICIÓN: Voy a elaborar un poco más. El operador Laplaciano es definido por $\Delta f = \bigtriangledown \bigtriangledown f$, y en la 1d caso es simplemente la derivada segunda. Las funciones propias y valores propios para el Laplaciano se define como la solución a

$$ \Delta f = \lambda f $$ Esta es también la definición matemática de un tambor, que tiene un montón de circular y sinusoidal propiedades. Una solución particular (por la 1d caso) es $\lambda = 1, f(x) = e^{ix}$. Pero, en general, la solución es

$$e^{\sqrt{\lambda}\;ix}$$

que puede ser moldeado en cualquier exponencial. Por ejemplo, el establecimiento $\lambda = (\log{2})^2$ nos da $2^{ix}$. Entonces, ¿qué significa esto?

Esto significa que no hay nada especial acerca de la $e$!! La conexión real entre todos los exponenciales complejos y círculos. Simplemente elija $e$ matemáticas convinence.

Answer 2

Mediante el uso de una base de $e$, los derivados son más simples. Como pienso que reconocer, $\frac{d}{dx}e^{ikx}=ik\,e^{ikx}$. Debido a esto, cuando el valor inicial $v_0$ e inicial pendiente relativa $r_0$, se ajusta a derecho en: $v_0\,e^{ir_0x}$. Todo esto es fea con un número distinto de $e$ para la base.