$L_{p}$ distancia entre una función y su traducción

Question

Estoy trabajando a través de una prueba y uno de los comentarios es que para una función de $f\in L_p (\mathbb{T})$:

$$\lim_{t\to 0}\;\|f(\cdot + t) - f\|_p = 0.$$

¿Cómo puedo demostrarlo? Creo que es intuitivamente claro si $f$ es una función de paso, pero, ¿qué acerca de un arbitrario $p$ integrable función?

Answer 1

Tenga en cuenta que la restricción $1 \leq p \lt \infty$ es necesario aquí. Para $p = \infty$ sólo considerar una función característica de una adecuada subinterval de $\mathbb{T}$. Su idea con funciones características pueden convertirse en un argumento para $p \lt \infty$, pero el siguiente parece más sencillo para mí:

1. Desde $\mathbb{T}$ es compacto, toda función continua es uniformemente continua. Esto significa: para cada función continua $g$ y cada una de las $\varepsilon \gt 0$ hay $\delta = \delta(g,\varepsilon) \gt 0$ tal que para todos los $|t| \lt \delta$ la estimación de $|g(x+t) - g(x)| \lt \varepsilon$ mantiene. La integración de esta $\mathbb{T}$ vemos que $\|g(\cdot+t) - g\|_p \leq \varepsilon$ todos los $|t|\lt \delta$.

2. Ahora, para cada $f \in L^p(\mathbb{T})$ $\varepsilon \gt 0$ es continua, $g$ tal que $\|f-g\|_p \lt \varepsilon$. El uso de 1., esto le da $$\|f(\cdot+t)-f\|_p \leq \|f(\cdot+t) - g(\cdot+t)\|_p + \|g(\cdot+t)-g\|_p + \|g-f\|_p \leq 3\varepsilon$$ para todos los $|t| \lt \delta(g,\varepsilon)$.