La importancia de formas modulares

Question

Estoy estudiando las formas modulares y mi profesor de empezar el curso hablando sobre funciones elípticas. Estas funciones forman un campo (una vez que la rejilla de $\Lambda$ es fija) llamado $E(\Lambda)=\mathbb C(\wp,\wp')$ y que "representan" a todos los meromorphic funciones en el toro $T=\mathbb C/\Lambda$. Se ha demostrado que las dos tori $\mathbb C/\Lambda$ y $\mathbb C/\Lambda'$ son conformemente equivalentes iff $\Lambda'=\Lambda$ $a\in\mathbb C^\ast$; además, la superficie de todas las clases de equivalencia de conformemente equivalente tori está en bijection con el $G$espacio $\mathcal H/ SL_2(\mathbb Z)$ donde $\mathcal H$ es la mitad superior del plano. Pero $\mathcal H/ SL_2(\mathbb Z)$ es homeomórficos a $\mathbb C$ a través de la función (absoluta invariante) $j$, de modo que el espacio de moduli de género $g=1$ puede ser identificado con $\mathbb C$. Esto es para mí muy claro, pero el de mi profesor, a continuación, introdujo las formas modulares y modular las funciones, que son tan importantes porque están relacionados con muchos teoría de número de problemas, tales como la solución de $P(x_1,\ldots, x_k)=n$ donde $P(\cdots)$ es una forma cuadrática en $\mathbb Z$.

A pesar de esto no entiendo de qué manera las formas modulares y modular las funciones están relacionadas con el complejo de tori, las Superficies de Riemann y funciones elípticas. Por qué era necesaria para empezar el curso con el concepto de función elíptica?

Answer 1

Considerar $\Gamma = SL_2(\mathbb{Z})$. Recuerde que $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \cr c& d \end{pmatrix} \in \Gamma$ opera en la mitad superior del plano por $T_\gamma : z \mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$. Escribe $\pi: H \H/\Gamma$ para el cociente mapa.

¿Qué es un (meromorphic) diferencial de la forma $\omega$ en $H/\Gamma$? Debe ser nada más que una (meromorphic) diferencial de la forma $\tilde{\omega} := \pi^*\omega$ en $H$, que es invariante bajo $\Gamma$. Escrito $\tilde{\omega} = f(z)dz$ esto lee $$ T_\gamma^*\tilde{\omega} = T_\gamma^*(f(z)dz) = f(T_\gamma(z))dT_\gamma(z) = f\left(\dfrac{az+b}{cz+d} \right) d\left(\dfrac{az+b}{cz+d} \right) = f(\dfrac{az+b}{cz+d}) \frac{ad-bc}{(cz+d)^2} dz $$ Así que la invariancia de la propiedad $T_\gamma^*\tilde{\omega} = \tilde{\omega}$ se traduce a $f\left(\dfrac{az+b}{cz+d} \right) = (cz+d)^2f(z)$ la cual debe estar familiarizado.

Así que, básicamente, las formas modulares de peso 2 corresponden a formas diferenciales en el espacio $H/\Gamma$ parametrización un complejo de curvas elípticas.

Obviamente omití algunos detalles importantes como el comportamiento en el infinito, los llamados topes, o cómo interpretar un mayor peso las formas modulares (que corresponden a las secciones de $f(z)(dz)^n \in H^0(H/\Gamma,(\Omega^1_{H/\Gamma})^{\otimes n})$ de el producto tensor gavilla). Pero espero que el principio es claro.