Considere la posibilidad de $f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} {x^k}$. Qué $f_n$ convergen pointwise en $[0,1]$?

Question

Considere la posibilidad de $f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} {x^k}$. Qué $f_n$ convergen pointwise en $[0,1]$? Hace convergen uniformemente en $[0,1]$?

Bueno, mi planteamiento sería, ante todo aviso que si $x \neq 1$, entonces por simple inducción obtenemos $$f_n(x) = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x}$$

Por eso, $(f_n) \rightarrow \frac{1}{1-x}$. Pero a $x = 1$,$f_n \rightarrow \infty$, por lo tanto $(f_n)$ no converge pointwise. Por lo tanto, no converge uniformemente. Es esto correcto? Espero recibir comentarios

gracias,

Answer 1

Lo que tienes se ve bien. Pensé en meter su cuchara con algo un poco diferente.

$f_n(x)\to f(x)$ pointwise en $[0,1]$ fib para cada $x\in[0,1]$, $|f_n(x)-f(x)|\to 0$ como $n\to\infty$. Esto claramente no a $x=1$ para cualquier propuesta de función $f(x)$ desde $f_n(1)=n+1\to\infty$$n\to\infty$. Y desde pointwise convergencia en $[0,1]$ falla, entonces la convergencia uniforme en $[0,1]$ falla así.