Dado tres números enteros en $\{0,\ldots,100\}$ que suma hasta $100$. ¿Qué es los efectos que dos de ellos son los mismos?

Question

Recogemos $3$ números (uno por uno) de $\{0,1,...,100\}$. ¿Qué es probabilty que dos números son iguales si la suma de los $3$ números es $100$?

Mi solución: Los cuales, dos son de la misma que podemos elegir en $\binom {3}{2}$ maneras. Sugieren $x_2=x_3$- necesitamos encontrar composición $x_1+x_2+x_2=100 \implies x_1+2x_2=100$, lo que implica que $x_1$ es incluso lo podemos dividir esta por $2$. Ahora llegamos $y_1+y_2=50$ , y utilizando la fórmula hay $$\binom{50+2-1}{2-1}=51$$ compositions. So, probability is $$\frac{51*3}{\binom{100+3-1}{3-1}}$$

Es esta la respuesta correcta?

P. S.$\binom{100+3-1}{3-1}$ es el número de composiciones de 100 en 3 partes (permitiendo $0$)

Answer 1

En primer lugar, contamos con las triples $(a,b,c)$ tal que $a + b + c = 100$. Para la elección de $a,b$ necesitamos $a + b \leq 100$. A continuación, $c = 100 - a - b$ está determinada únicamente. Para $a + b \leq 100$, el número de posibilidades es $$101 + 100 + 99 + \ldots + 2 + 1 = \frac{102\cdot 101}{2} = 5151.$$

Ahora podemos contar con los triples, con la condición adicional de que dos números son iguales. Tenga en cuenta que $a = b = c$ no es posible (de lo contrario, $100 = a + b + c = 3a$ sería un múltiplo de $3$). Así que hay $3$ posibilidades para elegir el par de números idénticos. Para cada elección, decir $a = b$, $51$ posibilidades de $a\in\{0,\ldots,50\}$ s.t. $a + b = 2a \leq 100$. De nuevo, $c$ está determinada únicamente. Así, en total, hay $3 \cdot 51 = 153$ triples $(a,b,c)$ tal que dos números son iguales y $a + b + c = 100$.

Esto le da a la resultante de la probabilidad de $$\frac{153}{5151} = \frac{3}{101} \approx 3.0\%. $$

Answer 2

Escoger tres números del conjunto $\{0,1,2,...,6N-2\}$. ¿Cuál es la probabilidad de que dos números son los mismos dada la suma de esos tres números es $6N-2$?

En primer lugar, el número de trillizos añadiendo hasta $6N-2$ es dado por el número triangular $3N(6N-1)$. De éstos, el % de trillizos $3N$ $(0,0,6N-2), (1,1,6N-4), .. , (3N-1,3N-1,0)$y sus permutaciones contienen dos números iguales. Así que tenemos trillizos de $9N$ de $3N(6N-1)$ trillizos que tienen dos números idénticos. La probabilidad que se busca es $3/(6N-1)$. Para N = 17 recuperamos pregunta de OP.