¿Cómo puedo demostrar que estas dos integrales son iguales?

Question

¿Cómo puedo demostrar que existe una igualdad $$ \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2}dxdy=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)? $$

Answer 1

Puede separarlos de la siguiente manera

$$ \begin{align*} \iint e^{-x^2 - y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \iint e^{-x^2} e^{-y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\ & = \int \left ( e^{-y^2} \int e^{-x^2} \mathrm{d}x \right ) \mathrm{d}y\\ &= \left ( \int e^{-x^2} \mathrm{d}x \right ) \left( \int e^{-y^2} \mathrm{d}y \right ) \end{align*} $$

Por si acaso, mencionaré que siempre que tengas una integral doble de la forma

$$\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x) g(y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$

se puede separar como producto de dos integrales

$$ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x) g(y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \left ( \int _{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \right ) \left ( \int _{c}^{d} g(y) \mathrm{d}y \right ) $$

de la misma manera que antes.

Answer 2

Sugerencia para la forma más razonable: 1) $e^{a + b} = e^a e^b$ 2) Recuerda que la x y la y son variables ficticias.

También debo señalarles un viejo responder por Ross, que sólo puedo imaginar es la causa de esta pregunta.

Answer 3

$$\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - x^2 - y^2 } dx} dy} = \int_{ - \infty }^\infty {e^{ - y^2 } \bigg(\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} \bigg)dy} = \bigg(\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - x^2 } dx} \bigg)\bigg(\int_{ - \infty }^\infty {e^{ - y^2 } dy} \bigg).$$

EDIT: Puede que valga la pena señalar que hay una distinción entre una integral iterada y una integral doble. Sin embargo, para cualquier función medible no negativa $f(x,y)$ en $\mathbb{R}^2$ sostiene $$ \int_{\mathbb{R}\times \mathbb{R}} {f(x,y)dxdy} = \int_{ - \infty }^\infty {\bigg(\int_{ - \infty }^\infty {f(x,y)dx} \bigg)dy} = \int_{ - \infty }^\infty {\bigg(\int_{ - \infty }^\infty {f(x,y)} dy\bigg)dx} . $$ La primera integral es una integral doble, las dos últimas son integrales iteradas.