Secuencia de dígitos que no es primordial en cualquier base

Question

¿Es allí una secuencia de base-$b$ dígitos de longitud mayor que uno con dígitos todos $$ \ne 0 que no representan un número primo en cualquier base?

Ejemplo: $12_ {10} = 12$ no es primero, pero $12_3 = 5$ es.

Answer 1

siempre es divisible por $2$ para bases sobre base $2$ $112$

$1111 = 11\times 101$ en cualquier base.

Answer 2

$121$. Supongamos que es cebar en base $b$. $ $b^2+2b+1=(b+1)(b+1) es primer.

Answer 3

El ejemplo más pequeño (a menos que sea en base 2) es de $22 = 2 \cdot 11$

Answer 4

Ejemplo de Jorge extensible, $$ \sum_ {k = 0} ^ {n} {\binom {n} {k} b ^ k} = (b + 1) ^ n$ $ no es primordial en cualquier superficie lo suficientemente grande como para tener los coeficientes binomiales como dígitos.

Answer 5

Si $d_nd_{n-1}\ldots d_0$ es una cadena de dígitos, es conveniente considerar el polinomio $f(x)=d_nx^n+d_{n-1}x^{n-1}+\ldots+d_0$. Entonces $(d_nd_{n-1}\ldots d_0)_b=f(b)$. El OP pregunta está relacionada con la pregunta "żcuál entero polinomios tomar sólo compuesto de valores?".

Las respuestas dadas hasta ahora describir dos fenómenos distintos (ambos se ilustra en la Marca Bennet respuesta).

1. Si $f(x)$ de factores de un polinomio, entonces $f(b)$ está compuesto por todos lo suficientemente grande $b$. Por ejemplo, $1111_b=101_b\cdot 11_b$ está compuesto por la totalidad de los $b$, que es equivalente a la polinomio factorización $x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)$.
2. A veces hay un particular prime $p$ que divide a $f(x)$ para todos los números enteros de $x$. Por ejemplo, $2$ siempre divide a $112_b$ (equivalentemente, $2\big|\,f(b)$, donde $f(x)=x^2+x+2$).

El Bunyakovsky conjetura significaría que estas son las únicas razones por las que un polinomio toma sólo compuesto de valores.

Conjetura: Dejar que $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ no ser constante con el positivo del coeficiente inicial. Supongamos que:

• $f(x)$ es irreductible, y

• no hay ningún número entero $d>1$ que $d\,\big|\,f(b)$ para todos los enteros $b$.

Entonces $f(b)$ es el primer infinitamente muchos enteros positivos $b$.

Existen algoritmos deterministas para comprobar si un polinomio que satisface las hipótesis de esta conjetura.