Si $x, \log_{10}(x), \log_{10}\log_{10}(x)$ están en progresión aritmética, encuentra el rango de $x$ .

Question

Si $x, \log_{10}(x) , \log_{10}\log_{10}(x)$ están en progresión aritmética, encuentra el rango de $x.$

(a) $0 < x < 1$

(b) $1 < x < 10$

(c) $10 < x < 100$

(d) $100 < x < 1000$

He encontrado la respuesta pero quiero una solución utilizando la lógica sin gráfico.

Answer 1

Decir que estos números están en progresión aritmética es decir que $$ 2 \, \log_{10} x = x + \log_{10} \log_{10} x \, . $$ Exponiendo esto se obtiene la ecuación equivalente $$ x^2=10^x\log_{10} x \, . $$ Si $x<1$ Los dos lados de esta ecuación tienen signo contrario, por lo que la ecuación no se cumple. Además, si $x > 10$ , $$ 10^x \log_{10} x > 10^x = (\sqrt{10})^{2x} > (2^{x})^2 > x^2 \, , $$ así que de nuevo la ecuación no se sostiene. Así que la única forma de que se mantenga es si $1<x<10$ .

Por otro lado, la función $f(x)=x^2-10^x \log_{10} x$ es continua y tiene un cambio de signo en $[1,10]$ por lo que por el Teorema del Valor Intermedio debe haber algún $x$ en ese rango que satisface la ecuación.

Answer 2

He encontrado un enfoque Si $\log a$ , $\log b$ y $\log c$ están en AP entonces $a$ , $b$ y $c$ están en GP.

Por lo tanto, $x^{2}=10^{x}\times \log_{10}x$ .

Entre las opciones dadas sólo es posible si x es menor que 10 y mayor que 1.

Answer 3

Si $x$ es menor que $1$ alors $\log x$ es negativo, y $\log \log x$ es indefinido. Así que (a) está descartada. Veamos (b). Si $1 < x < 10$ alors $0<\log x<1$ y $\log\log x < 0$ . Tal vez.

Ahora (c) y (d). Si $10<x < 1000$ alors $1<\log x <3$ y $0<\log\log x<\log 3 < 0.5$ . Vemos que la distancia entre $\log x$ y $\log\log x$ es menor que la distancia entre $x$ y $\log x$ .

Por lo tanto, (b) debe ser la respuesta.

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Podemos demostrar que existe un $x$ en ese rango que hace $x$ , $\log x$ , $\log \log x$ una progresión aritmética. Como $x$ se mueve de $1$ a $10$ ,

• la diferencia entre $x$ y $\log x$ se mueve continuamente de $1-0$ a $10 - 1$ es decir, de $1$ a $9$ .
• la diferencia entre $\log x$ y $\log \log x$ se mueve continuamente desde el infinito hasta $1-0 = 1$ .

Por lo tanto, debemos tener $x - \log x = \log x - \log \log x$ para algunos $x$ en el intervalo $(1,10)$ .

Answer 4

Sé que esto está etiquetado como "precálculo", pero se me ocurre lo siguiente...

Tenga en cuenta que si $f(x)=\log_{10}x \text{ then } f'(x)=\cfrac 1 {x \log_e {10}}$

Aplicar el teorema del valor medio a $f(x)=\log_{10}x$ en los puntos $x$ y $y$ con $x>y$ para identificar un $z$ con $y < z < x$ tal que $\log_{10}x-\log_{10}y = \cfrac 1 {z \log_e {10}}(x-y)$ .

Ahora, ponte $y=\log_{10}x$ y utilizar la progresión aritmética para ver que las diferencias son iguales de modo que $\cfrac 1 {z \log_e {10}}=1 \text { and } z=\cfrac 1 {\log_e {10}} \approx 0.4$ .

Así que tenemos $y<z$ así que $10^y (=x) < 10^z (= e$ ). Y es fácil ver que $x>1$ (para $\log \log x$ existir).

Así que para concluir, tenemos $1 < x < e$ .