Existen infinitamente muchos valores $n\in \mathbb{N}$ tal es divisible por % que $8n^{2}+5$ $7$y $11$, sin utilizar ecuaciones diofánticas

Question

Demostrar que existen infinitos valores de $n\in \mathbb{N}$ tal que $8n^2+5$ es divisible por $7$$11$, sin el uso de diophantine ecuaciones.

He a $8n^2+5=8(n^2-9)+77$ y desde $7\mid 77$$11\mid77$, estoy en busca de los números naturales $n$ tal que $7\mid(n^{2}-9)$$11\mid(n^2-9)$. Desde el primero que consigue $n=4+7k$ y el segundo un $n=8+11l$. Entonces que tengo que resolver la siguiente ecuación diophantine $7k-11l=4$, que sé que tienes una infinidad de soluciones.

Pero me gustaría saber una manera de mostrar esto sin la diophantine ecuaciones. Es eso posible?

Answer 1

% Toque $\rm\,\ 7,11\:|\:n^2\!-\!9 = (n\!-\!3)(n\!+\!3)\!\iff\! 77\:|\:n\!-\!3\ \ or\ \ 77\:|\:n\!+\!3\ \ or\ \ \begin{eqnarray}7\:|\:n\!&-&\!3\\ \rm 11\:|\:n\!&+&\!3\end{eqnarray}\ \ \ or\ \ \begin{eqnarray}7\:|\:n\!&+&\!3\\ \rm 11\:|\:n\!&-&\!3\end{eqnarray}$
Así $\rm\,\ mod\ 77\!:\ n \equiv \sqrt{9}\equiv \pm3,\, \pm 25,\ $, es decir, $\rm\:\pm(3,3),\, \pm(-3,3)\ mod\ (7,11)\:$

Answer 2

Si $n$ soluciona una ecuación polinómica $\mod m$ entonces la clase entera residuo $n$ modulo $m$ soluciona esta ecuación polinómica. puede tratar de todo residuo clases $0,\ldots,m-1$ para comprobar si existe una clase de residuo que se resuelve la ecuación.

En su problema, $n=3$ es una solución de $$8n^2+5=0 \mod 77$$ and therefore $% $ $n=\cdots-74,3,80,\ldots$también son soluciones