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identidad de conmutador en planetmath

En PlanetMath hay una identidad de conmutadores que creo que se equivoca. Esta identidad es la identidad cuarto teorema 5 de esta página. Creo que la identidad correcta es esta, me calculado:

Identidad de PlanetMath: $[x^z,y]=\left[x,y^{z^{-1}}\right]$, donde $x^z=z^{-1}xz$

Identidad me calcula: $[x^z,y]=\left[x,y^{z^{-1}}\right]^z$

¿Estoy correcto?

8voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Sí, tienes razón. Tenemos que $[x,y]^z = [x^z,y^z]$, que $$[x^z,y] = \left[ x^z, (y^{z^{-1}})^z\right] = [x,y^{z^{-1}}]^z = [x,y^{z^{-1}}]\left[[x,y^{z^{-1}}],z\right].$ $

Para ver que la identidad reivindicada por PlanetMath no tiene en general, tenga en cuenta que $[x,y^{z^{-1}},z]$ no es trivial en general; o simplemente pueden ampliar (mediante convenio, de PlanetMath de $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$): $$\begin{align*} {}[x^z,y] &= (z^{-1}xz)^{-1}y^{-1}(z^{-1}xz)y\\ &= z^{-1}x^{-1}zy^{-1}z^{-1}xzy\\ {}[x,y^{z^{-1}}] &= x^{-1}(zyz^{-1})^{-1}x(zyz^{-1})\\ &= x^{-1}zy^{-1}z^{-1}xzyz^{-1}, \end{align*} $ que son diferentes en el grupo libre (ambos son palabras reducidas pero no son idénticos).

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