Mostrando $\prod\limits_{i

Question

Deje de $x_1,...,x_n$ ser distintos números enteros. Demostrar que

$$\prod_{i<j} \frac{x_i-x_j}{i-j}\in \mathbb Z$$

Sé que hay una solución usando el determinante de una matriz, pero no puedo recordar ahora. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Si $x_1$, $\ldots$, $x_n$ son números enteros, entonces $\prod_{1\le i<j\le n} \frac{x_i-x_j}{i-j}$ es integral porque es el determinante de la integral de la matriz $$\left(x_i \elegir j-1\right)_{i,j=1,\ldots,n}.$$

Usted puede ver esto empezando con la fórmula del determinante de la matriz de Vandermonde, $$\det\left( (x_i^{j-1})_{i,j=1,\ldots,n}\right) = \prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i);$$ a continuación, dividir la columna $j$ de la matriz de Vandermonde por $(j-1)!$ para obtener la matriz de $$\left(\frac{x_i^{j-1}}{(j-1)!}\right)_{i,j=1,\ldots,n}$$ dada por Eric Naslund arriba. Su determinante es igual a $\prod_{1\le i<j\le n} \frac{x_j-x_i}{j-i}=\prod_{1\le i<j\le n} \frac{x_i-x_j}{i-j}$. Por último, teniendo $j=n$, $n-1$, $\ldots$, $1$ en la sucesión, añadir racional múltiplos de columnas $1$, $\ldots$, $j-1 usd) a la columna $j$ a cambio de cada $\frac{x_i^{j-1}}{(j-1)!}$ $x_i \elegir j-1$; esto no cambia el determinante de la matriz.

Answer 2

He aquí una muy directa. Para cada uno de los prime hasta $n-1$, sólo tenemos que verificar que $$ \text{val}_p\left( \prod_{i<j}(i-j)\right) \leq \text{val}_p\left( \prod_{i<j}(x_i-x_j) \right) $$ para cualquier elección de enteros de $x_i$. (Aquí, el $p$-ádico de valoración $\text{val}_p(x)$, simplemente cuenta los poderes de $p$ que dividir $x$.) Es decir, tenemos que mostrar que la elección de $x_1, x_2, \ldots, x_n$ a $1, 2, \ldots, n$ da a los más pequeños de $p$-ádico valoración posible.

Para hacer esto, observe que la configuración de $x_i=i$ le da el mínimo número posible de pares $(i,j)$ tal que $x_i-x_j$ es divisible por $p$ (o divisible por $p^2$, o $p^3$, o $p^k<n$ ). Esto es debido a que los números de $1, 2, \ldots, n$ se como se distribuye uniformemente entre los residuos de las clases modulo $p^k$ como sea posible. Por el principio del Palomar, cualquier otra opción de enteros de $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tendrá, al menos, como muchos repetidos de residuos de clases, y una distribución desigual conduce a un mayor número total de pares $(x_i,x_j)$ desde el mismo residuo de la clase. (Debido a la desigualdad de números triangulares $T_{n+i}+T_{n-i} \geq 2T_{n}$.)

Por lo tanto, $\displaystyle \prod_{i<j} \frac{x_i-x_j}{i-j}$ es un número entero, porque hay, al menos, como muchos de los poderes de $p$ en la parte superior como hay en la parte inferior de cada uno de los prime $p$.