Creo que usted está leyendo el mal parte de su libro. Esa definición (parte superior de la p. 185 en mi edición) está inmediatamente precedida por un Teorema de 29.1, que es una larga explicación de cómo uno puede tomar un noncompact localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ e incrustarlo en un espacio compacto $\def\Y{X^\ast}\Y$ que tiene exactamente un punto más de $X$. Este espacio más grande $\Y$ es el punto de compactification de un espacio de $X$, a veces llamado el Alexandroff compactification de $X$.
El punto de compactification
$\Y$ se compone de $X\cup \{\infty\}$ donde $\infty$ es de algún nuevo punto de que no es un elemento de $X$. La topología es la siguiente:
- Si $G$ es un subconjunto abierto de $X$, $G$ es también un conjunto abierto de $\Y$
- Si $C$ es un subconjunto compacto de $X$, $\{\infty\}\cup(X\setminus C)$ es un conjunto abierto de $\Y$
Teorema de 29.1 muestra que si $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto, pero no compacto, a continuación,$\Y$, con la topología descrita anteriormente, es un compacto Hausdorff espacio de que $X$ es un subespacio. Teorema de 29.1 también muestra que, en cualquier punto de compactification de $X$ debe ser homeomórficos a la $\Y$ descrito anteriormente, de modo que el punto de compactification de $X$ es esencialmente único. Esta es la construcción de Munkres quiere que usted considere.
Esta construcción es la topológicos de la formalización de la idea de tomar un espacio infinito $X$ y "adición de un punto en el infinito". Lo hacemos, por ejemplo, con los números complejos, para la obtención de la esfera de Riemann. (Ignorar este ejemplo, si usted no sabe acerca de la esfera de Riemann.) Un simple ejemplo es que el punto de compactification de $\Bbb R$ (homeomórficos a) $S^1$, el círculo: los dos extremos en el infinito, se juntan y se unen en el nuevo punto de $\infty$.
Espero que la pregunta tiene más sentido en esta luz.
Una palabra de consejo: En algunos temas, y en las pruebas estandarizadas, puede leer la pregunta en primer lugar, a continuación, volver atrás y echar un vistazo al material buscando algo pertinente y, a continuación, responder a la pregunta sin leer todo el material. En matemáticas avanzadas, esta estrategia no funcionará. Usted tiene que adoptar una estrategia diferente. Primera lectura sobre la totalidad del capítulo, muy lentamente, se toma el tiempo para entender y digerir cada frase antes de pasar a la siguiente. Esto puede tomar varios días o más. Luego de hacer los ejercicios.
