Diophantine ecuación: $(x-y)^2=x+y$

Question

Tengo que resolver la siguiente ecuación: $(x-y)^2=x+y$ donde $x$ $y$ son enteros no negativos. Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones, pero, ¿cómo demostrar que existe un entero positivo k tal que $x=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$$y=\frac{k(k+1)}{2}$? Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Reescribir como $(x-y)^2=(x-y)+2y$. Set $k+1=x-y$. Nuestra ecuación es, a continuación,$k(k+1)=2y$.

Answer 2

Basta con sustituir los valores de x e y en el lado derecho, se obtiene:

$$\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(k+1)(k+2-k)}{2}\right)^2 = (k+1)^2$$

Si haces lo mismo en el lado izquierdo, consigue $(k+1)^2$ demasiado, Q. E. D

Answer 3

En rearranegment tenemos $$x^2-x(2y+1)+y^2-y=0$$

$$\implies x=\frac{2y+1\pm\sqrt{(2y+1)^2-4(y^2-y)}}2=\frac{2y+1\pm\sqrt{8y+1}}2$$

Como $x$ tiene que ser entero, necesitamos $8y+1$ a ser cuadrado perfecto

Como $y$ también es un entero, $8y+1$ es impar, por lo tanto, puede ser escrito como $(2a+1)^2$ donde $a$ es cualquier entero

Ahora simplificar y encontrar $x,y$ términos de $a$

Answer 4

Probablemente es necesario elaborar una fórmula para la solución en la forma general:

En la ecuación: $(x-y)^2=x+y$

Las soluciones pueden ser escrita:

$x=\frac{a(a+1)}{2}+\frac{b(b-1)}{2}-ab$

$y=\frac{a(a-1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}-ab$

$a,b$ - lo que algunos enteros.