Deje $a \in \mathbb{C}$. Ahlfors dice que deje $a + \infty = \infty$$a \cdot \infty = \infty$. Pero no podemos definir a $\infty + \infty$ sin violar las leyes de arithimetic (es decir, de campo axiomas).
No veo por qué esto es. No tenemos $\infty + \infty = \infty$ aplicando la ley distributiva a $2\cdot \infty$? Lo estoy entendiendo mal?
El malentendido es, asumiendo que la distribución de la ley se aplica sin excepción a la extensión de la aritmética se está definiendo aquí. No, y su razonamiento muestra por qué.
Sin la definición de $\infty+\infty$ puede hacer que el campo axiomas de mantener en la medida en que las expresiones de los axiomas se define en absoluto. El punto de no definir $\infty+\infty$ es exactamente para evitar expresiones para que diferentes aplicaciones de campo axiomas daría múltiples valores incompatibles.
Ah, pero son usted seguro de que usted tiene el distributiva de la ley? :)
La prueba de la no-existencia es que las operaciones aritméticas se define por extensión continua. Así, tenemos que comprobar si es o no el siguiente límite existe: $$ \lim_{(x,y) \mapsto (\infty, \infty)} x + y $$ Si existiera, podríamos calcular tomando el límite de un camino particular. El primero elige $x=y$, y el segundo $x=-y$: $$ \lim_{(x,y) \mapsto (\infty, \infty)} x + y = \lim_{x \mapsto \infty} x + x = \infty $$ $$ \lim_{(x,y) \mapsto (\infty, \infty)} x + y = \lim_{x \mapsto \infty} x - x = 0 $$
Suponga que usted tenía una $\infty$ consistente con el campo axiomas. A continuación,$ \infty = \infty + \infty \Longrightarrow \infty - \infty = 0$. Esto se deduce del hecho de que en un campo, un único inverso aditivo existe para cada elemento, de modo que también existe para $ \infty$. Quería definir $\infty = \infty + \infty$, y si le sumamos el inverso aditivo de ambos lados, obtenemos $ 0 = \infty + (-\infty) = (\infty + \infty) + (-\infty)$. Por la asociatividad, podemos intercambiar el paréntesis de la derecha a la par $\infty$ con su inverso aditivo y obtenga $\infty + 0 = \infty$
Pero, a continuación,$ 1 = 1 + \infty + (-\infty) = \infty + (-\infty) = 0$, un contradicition.
Tiene que ver con la Dimensión que yo pienso. Por ejemplo, podemos dejar cos(75 grados) cos 45 grados más cos 30 grados, debido a que las funciones de actuar de manera diferente a la de los números enteros, no podemos factor. Lo mismo con el Infinito, ¿no es a actuar de la misma manera con las funciones y de los números enteros ? La respuesta es no. Y el infinito son todos de la misma. ¿Qué pasa si uno infinito está en el área, uno lineal y otro en el cubo. Por lo tanto, infinito más infinito cuadrado es igual a infinito cubo ? No funciona de esa manera. Si podemos resolver este problema, creo que podemos crear un agujero de gusano para ir de un lado a otro lado en un acceso directo. Y el infinito tiene que ver con el tiempo también lo hace infinito tiene el mismo tiempo de la misa, no sabemos ?
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