¿Cómo se puede calcular fácilmente el límite de $a_n=(n\cdot \ln(\frac{n+1}{n}))^n$ ?

Question

Puedo demostrar que $\displaystyle a_n=\left(n\cdot \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right)^n\rightarrow \frac{1}{\sqrt{e}}$ expresándolo como $\displaystyle e^{\ln(a_n)}$ pero esto acaba siendo muy tedioso. ¿Cuál es una manera más fácil de calcular este límite?

Gracias.

Editar Esto es una secuencia, así que me refiero al límite como $\displaystyle n\rightarrow \infty$ .

Answer 1

Asintótica

$$\begin{align} a_n &= \left(n\cdot \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right)^n = \left(n\cdot \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^n = \left(n\cdot \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right)^n \\ &= \left(1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n = \left(\left(1-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{1/2}\right)^{n} = \left(\left(1-\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n\right)^{1/2} \\ &= \left(\left(e^{-1/n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n\right)^{1/2} = (e^{-1}+o(1))^{1/2} =e^{-1/2}+o(1) . \end{align}$$

Answer 2

O un poco más explícito, basado en la expansión de Taylor de $\log$ se cumplen las siguientes desigualdades para $n \geq 2$ :

$$ \left(1-\frac{1}{2n}\right)^n \leq a_n \leq \left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}\right)^n \leq \left(1-\frac{1}{2(n+1)}\right)^n $$

y ambas partes tienen límite $e^{-1/2}$ .

Answer 3

También puede utilizar el Regla trapezoidal para aproximar $$ \ln \left(\frac{n+1}{n} \right)=\int_n^{n+1}{\frac{1}{x}}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}\right)+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) $$ Exponenciando y multiplicando por $n^n$ rinde $$ n^n \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left[\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^n=\left(1-\frac{1}{2n}+\mathcal{o}\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n=e^{-\frac{1}{2}}+\mathcal{o}(1) $$ (El último signo de igualdad ya está dado en la respuesta de GEdgar).