Un grupo de $G$ puede ser demostrado ser el producto directo de 2 normal de su subgrupos si generan todo el grupo y se cruzan trivialmente. ¿Esto se extienda a más de 2 subgrupos? Por ejemplo, si $G$ 3 subgrupos normales que generan todo el grupo y por parejas se cruzan trivialmente, se $G$ necesariamente isomorfo a su producto directo?
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Jonik
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No, pero está cerca.
$C_2 \times C_2$ tiene tres subgrupos normales que generan todo el grupo y por parejas se cruzan trivialmente: $C_2 \times 1$, $1\times C_2$, y $\Delta = \{ (x,x) : x \in C_2 \}$. Cada uno es isomorfo a $C_2$, pero $C_2 \times C_2$ no es isomorfo a $C_2 \times C_2 \times C_2$.
La condición es muy similar, aunque, $G=A \times B \times C$ fib (1) $G=ABC$, (2) $A,B,C \unlhd G$, y (3) $AB \cap C = AC \cap B = BC \cap A = 1$.
Tienes (1) y (2) a la derecha, y (3) está cerca. Usted acaba de salir de un factor cada vez.
Supongamos que $G=A_{1}...A_{n}$ donde $A_{i} \lhd G \;\forall 1 \leq i \leq n$. Deje $A_{i}':=A_{1}...A_{i-1}A_{i+1}...A_{n}$. Tenga en cuenta que $A_{i}' \lhd G$ por el resultado de que si $A,B \lhd G$,$AB \lhd G$. Supongamos también que $A_{i}' \cap A_{i} = \{1\} \; \forall i$. Entonces puede demostrarse (inductivo) que $G \cong A_{1} \times ... \times A_{n}$.
Alexander Gruber
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Esta noción se extiende sólo a lo finito productos directos, que @Edward la respuesta demuestra bastante bien. A continuación te voy a mostrar lo que sucede cuando se trate de hacer esto con una infinidad de productos directos (contables o de otra manera).
Deje $G$ ser un grupo y $\{G_\alpha\}_{\alpha\in A}$ ser una familia de subgrupos normales de $G$ con la propiedad de que $G_\alpha\cap \langle G_\beta \,|\, \beta \in A\setminus \{\alpha\} \rangle = 1$ todos los $\alpha$$G=\langle G_\alpha \,|\,\alpha \in A\rangle$. Deje $G^\star = \prod_{\alpha \in A}G_\alpha$ ser el estándar (externo) producto directo de estos subgrupos. Cualquier $g\in G$ puede ser únicamente representado en la forma $g=g_{\alpha_1}g_{\alpha_1}\cdots g_{\alpha_n}$, donde cada una de las $g_{\alpha_i}$ son miembros de $G_{\alpha_i}$, y el $\alpha_i$ son distintos.. Definir $\pi_\alpha:G\rightarrow G_\alpha$ $\pi_\alpha(g)=g_\alpha$ como en la frase anterior (teniendo en cuenta el valor de la identidad si $g$ no tiene un $\alpha$-componente). Ahora defina $\pi:G\rightarrow G^\star$$\pi(g)=(g_\alpha)_{\alpha\in A}$. Vemos que $\pi$ es inyectiva (aunque en general no surjective, como $\prod_\alpha G_\alpha$ puede tener elementos como $(g_\alpha)_{\alpha\in A}$ donde todos los $g_\alpha$ son no triviales). $\pi(G)$ por lo tanto es isomorfo a un subgrupo de $G^\star$ compuesto de todos los elementos para que todos, pero un número finito de coordenadas son iguales a la identidad; este es el restringido externa directa del producto, anotada por $\oplus_\alpha G_\alpha$.
