Tengo que admitir que probablemente estoy fuera de mi profundidad con esta pregunta, pero no puedo ayudar pero siento curiosidad.
Quería mostrar que, en la secuencia de $\{\sin(n)\}$, nunca hay un mayor plazo (la secuencia nunca alcanza su límite superior). Mi razonamiento fue que, dado $$ \left| \sin(x) - \sin(y) \right| \leq \left| x - y \right|,$$ if we can furnish an even $M$ with $M = N\pi \pm \epsilon$, then either $\frac{3}{2}M$ or $\frac{1}{2}M$ will nearly equal an odd multiple $K$ of $\frac{\pi}{2}$ such that $\el pecado(K\frac{\pi}{2}) = 1$. Por la desigualdad, la diferencia entre el $\sin(\frac{3}{2}M)$ $1$ - o $\sin(\frac{1}{2}M)$$1$, lo que, sería en la mayoría de las $\frac{3}{2} \epsilon$. Por lo tanto, el problema se reduce a demostrar que podemos obtener arbitrariamente un pequeño $\epsilon$.
(He de reconocer que la desigualdad anterior es bastante diluido: el valor medio teorema muestra que la desigualdad es tan severa como $\cos(\xi) \leq 1$$\xi \in (x,y)$, que, si ambos puntos $x$ $y$ son cerca de $(2k+ \frac{1}{2}) \pi$, en realidad es mucho más fuerte que lo que tengo. Esto parece como un camino duro para demostrar que el reclamo, así que si alguien tiene uno mejor, yo también les gusta oír hablar de eso.)
Pero mi principal preguntaque se me vino a causa de lo anterior, es acerca de la aproximación de los múltiplos de $\pi$ por números enteros. Si $\pi = \frac{p}{q} + \epsilon$,$q\pi - q\epsilon = p$; por lo tanto, el tamaño de $q$ se convierte en importante para la exactitud, puesto que el $\epsilon$ estábamos considerando anterior es $q\epsilon$ en estos términos.
Spivak del Cálculo tiene una pequeña discusión acerca de esto cuando él demuestra a $e$ es trascendental. Señala que la prueba de $e$'s irracionalidad muestra que $\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!} = n!e - R_n,$$|R_n| < \frac{3}{n+1}$. La suma de la izquierda puede ser controlado por la paridad, desde la elección de $n$ impar de hojas de $(\cdots + n + 1)$ en la cola de esta suma, y todos los demás términos multiplicados por $(n-1)$. Así que no debe existir, dado $\epsilon > 0$, $N$ e incluso un $M$ tal que $M = Ne \pm \epsilon$.
(En otras palabras, si $e$ se $\pi$, me gustaría estar en casa ya!)
Spivak mencionó que esta propiedad - buenas aproximaciones existentes con pequeños denominadores - es de alguna manera el carácter trascendental de los números.
"El número $e$ no es único en este sentido: en general, el mejor de un número se puede aproximar por los números racionales, el peor es".
Así que me pregunto:
- Podemos proporcionar una aproximación a $\frac{p}{q}$ $\pi$ $q\epsilon$arbitrariamente pequeño? (Para mis propósitos, podemos hacer mejor y proporcionar uno con un $p$?)
- De forma más general (y estoy fuera de mi profundidad aquí, pero sería disfrutar de las referencias), lo podemos probar acerca de la "bondad" de aproximaciones racionales para trascendental números, en el sentido de los pequeños denominadores?