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Entero par de aproximaciones a múltiplos de pi

Tengo que admitir que probablemente estoy fuera de mi profundidad con esta pregunta, pero no puedo ayudar pero siento curiosidad.

Quería mostrar que, en la secuencia de $\{\sin(n)\}$, nunca hay un mayor plazo (la secuencia nunca alcanza su límite superior). Mi razonamiento fue que, dado $$ \left| \sin(x) - \sin(y) \right| \leq \left| x - y \right|,$$ if we can furnish an even $M$ with $M = N\pi \pm \epsilon$, then either $\frac{3}{2}M$ or $\frac{1}{2}M$ will nearly equal an odd multiple $K$ of $\frac{\pi}{2}$ such that $\el pecado(K\frac{\pi}{2}) = 1$. Por la desigualdad, la diferencia entre el $\sin(\frac{3}{2}M)$ $1$ - o $\sin(\frac{1}{2}M)$$1$, lo que, sería en la mayoría de las $\frac{3}{2} \epsilon$. Por lo tanto, el problema se reduce a demostrar que podemos obtener arbitrariamente un pequeño $\epsilon$.

(He de reconocer que la desigualdad anterior es bastante diluido: el valor medio teorema muestra que la desigualdad es tan severa como $\cos(\xi) \leq 1$$\xi \in (x,y)$, que, si ambos puntos $x$ $y$ son cerca de $(2k+ \frac{1}{2}) \pi$, en realidad es mucho más fuerte que lo que tengo. Esto parece como un camino duro para demostrar que el reclamo, así que si alguien tiene uno mejor, yo también les gusta oír hablar de eso.)

Pero mi principal preguntaque se me vino a causa de lo anterior, es acerca de la aproximación de los múltiplos de $\pi$ por números enteros. Si $\pi = \frac{p}{q} + \epsilon$,$q\pi - q\epsilon = p$; por lo tanto, el tamaño de $q$ se convierte en importante para la exactitud, puesto que el $\epsilon$ estábamos considerando anterior es $q\epsilon$ en estos términos.

Spivak del Cálculo tiene una pequeña discusión acerca de esto cuando él demuestra a $e$ es trascendental. Señala que la prueba de $e$'s irracionalidad muestra que $\sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!} = n!e - R_n,$$|R_n| < \frac{3}{n+1}$. La suma de la izquierda puede ser controlado por la paridad, desde la elección de $n$ impar de hojas de $(\cdots + n + 1)$ en la cola de esta suma, y todos los demás términos multiplicados por $(n-1)$. Así que no debe existir, dado $\epsilon > 0$, $N$ e incluso un $M$ tal que $M = Ne \pm \epsilon$.

(En otras palabras, si $e$ se $\pi$, me gustaría estar en casa ya!)

Spivak mencionó que esta propiedad - buenas aproximaciones existentes con pequeños denominadores - es de alguna manera el carácter trascendental de los números.

"El número $e$ no es único en este sentido: en general, el mejor de un número se puede aproximar por los números racionales, el peor es".

Así que me pregunto:

  • Podemos proporcionar una aproximación a $\frac{p}{q}$ $\pi$ $q\epsilon$arbitrariamente pequeño? (Para mis propósitos, podemos hacer mejor y proporcionar uno con un $p$?)
  • De forma más general (y estoy fuera de mi profundidad aquí, pero sería disfrutar de las referencias), lo podemos probar acerca de la "bondad" de aproximaciones racionales para trascendental números, en el sentido de los pequeños denominadores?

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Oli Puntos 89

El siguiente resultado general de Dirichlet, en particular, responde a su pregunta acerca de aproximaciones a $\pi$. Deje $\alpha$ ser irracional. Luego existen una infinidad (reducción) de las fracciones $\frac{p}{q}$ tal que $$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\lt \frac{1}{q^2}.$$ Para la discusión del tema general, y más enlaces, por favor, consulte esta entrada de la Wikipedia.

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jlupolt Puntos 369

En el espíritu experimental de las matemáticas, hice un cálculo de la cantidad de $|q\epsilon|$ para el primer $100$ aproximaciones racionales para $\pi$ $10^{-n}$ de precisión, y parece que, de hecho, disminuye de manera exponencial:

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Así que si esta tendencia continúa, es cierto que se pueden aproximar $\pi$ por lo suficientemente grande como enteros. Por supuesto, esto no es una prueba o una solución completa a su pregunta, sólo una sugerencia en la dirección correcta.

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goric Puntos 5230

He aquí un enfoque alternativo a su problema original que no utilice Diophantine aproximación.

Un resultado topológico (cf. Kelley Topología, página 58) dice que un aditivo subgrupo $G$ de la línea real es denso, o de la forma $r\mathbb{Z}$ algunos $r\in\mathbb{R}$. Si consideramos el grupo de $G$ generado por $1$$2\pi$, vemos que la pretendida $r$ sería racional e irracional. Tal $r$ no existe, por lo $G$ debe ser denso.

Dejando $(m_n)$ $(\ell_n)$ ser secuencias de enteros con $m_n+\ell_n\,2\pi\to\pi/2$, vemos que $\sin(m_n)=\sin(m_n+\ell_n\,2\pi)\to\sin(\pi/2)=1$.

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