Galois grupo de $f(x) = x^5 + x - 1$ $\mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de calcular el grupo de Galois de la quintic polinomio $f(x) = x^5 + x - 1$.

Yo primero descompuesto $f(x)$ en factores irreducibles $f(x) = g(x)h(x)$ donde$g(x) = x^2 - x + 1$$h(x) = x^3 + x^2 - 1$. Yo denotado por $K_g$, $K_h$ la división de los campos de $g(x), h(x)$$\mathbb{Q}$, respectivamente, y vio que $G_g = {\rm Gal}(K_g/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}_2$, $G_h = {\rm Gal}(K_h/\mathbb{Q}) \cong S_3$ donde $S_3$ es el grupo simétrico de tres letras. A continuación, la división de campo de la $f(x)$ $\mathbb{Q}$ $K_gK_h$ (compositum).

Adivinando que el grupo de Galois $G_f$$f(x)$$\mathbb{Z}_2 \times S_3$, he tratado de mostrar que el $K_g \cap K_h = \mathbb{Q}$. En realidad, es suficiente para mostrar que $\sqrt{-3}$ no pertenece a $K_h$ pero estoy atascado aquí. Podría alguien darme una idea?

(Si $K_g \cap K_h \neq \mathbb{Q}$,$\mathbb{Q} \subsetneq K_g \subsetneq K_h$, por lo que el teorema de Galois afirma ${\rm Gal}(K_h/K_g) \cong A_3$, pero no pudo llegar a una contradicción.)

Muchas gracias por tu respuesta.

Answer 1

si hay un elemento $\alpha \notin \mathbb{Q}$ $K_g$ $K_h$ sería un cero de un polinomio irreducible p(x) de grado 2 y un polinomio irreducible p(x) de grado 3 $\mathbb{Q}$. entonces, por división, tendríamos:

$$q(x) = (ax+b)p(x) + c$$ para $a,b,c \in \mathbb{Q}$

pero desde $p(\alpha)=0$ $q(\alpha)=0$ esto obliga a $c=0$ contradiciendo la irreductibilidad de $q(x)$