De Laplace de la Ecuación en 3 dimensiones está dada por $$\nabla^2f=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}+\frac{ \partial^2f}{\partial z^2}+\frac{ \partial^2f}{\partial y^2}=0$$ and is a very important PDE in many areas of science. One of the usual ways to solve it is by seperation of variables. We let $f(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ and then the PDE reduces to 3 independent ODE's of the form $X"(x)+k^2 x=0$ with $k$ una constante.
Este método funciona para un número sorprendente de sistemas de coordenadas. Puedo usar coordenadas cilíndricas, esféricas en coordenadas bi-coordenadas esféricas y más. De hecho, en 2 dimensiones, puedo tomar $\mathbb{R}^2$$\mathbb{C}$, y, a continuación, cualquier analítica de la función $f(z)$ mapas de las coordenadas Cartesianas de $\mathbb{R}^2$ a un conjunto de coordenadas que es separable de Laplace de la ecuación. Esto se desprende de funciones analíticas también ser armónica de funciones. Por ejemplo, $f(z)=z^2$ mapas de las coordenadas cartesianas a coordenadas parabólicas.
Así que ¿cómo en 3 dimensiones? Es allí una manera de describir todos los sistemas de coordenadas tal que el Laplaciano se separa de esta manera?No tengo idea de cómo empezar. Creo que Confocal de Coordenadas Elipsoidales funciona, pero no estoy seguro de cómo se compruebe. Yo no estoy familiarizado con la geometría diferencial, por lo que cualquier ayuda es apreciada.
