La secuencia de las fracciones que converge a $\sqrt{n}$

Question

Comenzar con cualquiera de los dos enteros positivos $a,b$. Vamos

$$s_1 = \frac{a}{b}$$

y de forma recursiva definimos $s_{i+1}$ $s_i$ como sigue: Si ${s_i}$ es la fracción $\frac{a'}{b'}$, a continuación, establezca

$$s_{i+1} = \frac{a'+2b'}{a'+b'}$$

(Observe que el valor real de la $s_{i+1}$ no depende de la manera exacta en la que elegimos para representar a $s_i$ en fracciones)

¿Cómo podemos mostrar que $s_i \to \sqrt{2}$$i\to \infty$?

En general, el envío de $\frac{a'}{b'}$ $\frac{a'+nb'}{a'+b'}$supuestamente conduce a $s_i \to \sqrt{n}$. ¿Cómo podemos demostrar esto?

Answer 1

En el caso general, dividiendo por $b'$ en el numerador y el denominador tenemos que:

$$s_{i+1} = \frac{s_i + n}{s_i + 1}$$

Ahora consideremos dos casos, a saber,$s_i \le \sqrt{n}$$s_i > \sqrt{n}$. Ahora vamos a WLOG $s_i \le \sqrt{n}$. A continuación, expresando $s_{i+2}$ $s_i$ tenemos que:

$$s_{i+2} = \frac{s_{i+1} + n}{s_{i+1} + 1} = \frac{\frac{s_i + n}{s_i + 1} + n}{\frac{s_i + n}{s_i + 1} + 1} = \frac{(n+1)s_i + 2n}{2s_i + (n+1)}$$

De esto tenemos que $s_{i+2} \ge s_i \iff (n+1)s_i + 2n \ge 2s_i^2 + (n+1)s_i \iff n \ge s_i^2$, lo cual es cierto. También tenemos que $s_{i+2} \le \sqrt{n} \iff ((n+1) - 2\sqrt{n})s_i \le \sqrt{n}(n+1) - 2n$, pero esto es cierto: $((n+1) - 2\sqrt{n})s_i \le ((n+1) - 2\sqrt{n})\sqrt{n} = \sqrt{n}(n+1) - 2n$. Por lo tanto, si $i$ es par/impar, tenemos que la secuencia de pares/impares índices es convergente. Vamos a WLOG $i$ ser impar, entonces podemos escribir $\lim_{n \to \infty} s_{2i} = L$. Tomando el límite de la ecuación anterior tenemos:

$$L = \frac{(n+1)L + 2n}{2L + (n+1)} \iff 2L^2 + (n+1)L = (n+1)L + 2n \iff L = \sqrt{n}$$

Del mismo modo podemos probar el caso cuando $s_i > \sqrt{n}$ y también que a la larga con los índices de otros paridad es convergente a $\sqrt{n}$.

Finalmente, como tanto $s_{2i}$ $s_{2i+1}$ convergen a $\sqrt{n}$ podemos concluir que $s_i$ converge a $\sqrt{n}$

Answer 2

Deje $t_i$ denotar la parte superior de la fracción y $\ell_i$ de la parte inferior. Entonces $t_0 = a$, $\ell_0 = b$ y $$ \begin{pmatrix} t_{i+1} \\ \ell_{i+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t_{i} \\ \ell_{i} \end{pmatrix}. $$ Usted puede entonces diagonalize el medio de la matriz de $$ \begin{pmatrix} 1 & n \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = P^{-1}DP. $$ A continuación, se deduce que \begin{align} \begin{pmatrix} t_{i} \\ \ell_{i} \end{pmatrix} &= P^{-1}D^iP\begin{pmatrix} t_{0} \\ \ell_{0} \end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix} d_{1}^{i} & 0 \\ 0 & d_{2}^{i} \end{pmatrix}P\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. \end{align}

Answer 3

Una cosa que podrías hacer es ver si $s_i^2$ converge a $2$. Hacemos esto mediante la comparación de $|s_i^2 - 2|$$|s_{i+1}^2 - 2|$: $$ \begin{align} \left|\frac{a'^2 - 2b'^2}{b'^2}\right| \quad &\text{versus} \quad \left|\frac{a'^2 + 4a'b' + 4b'^2 - 2a'^2 - 4a'b' - 2b'^2}{a'^2 + 2a'b' + b'^2}\right|\\ \left|\frac{a'^2 - 2b'^2}{b'^2}\right| \quad &\text{versus} \quad \left|\frac{2b'^2 - a'^2 }{a'^2 + 2a'b' + b'^2}\right| \end{align} $$ y vemos que los dos numeradores son los aspectos negativos de la otra, que no afecta a nuestro resultado, mientras que el denominador de la derecha es más grande (ya que hemos asumido $a', b' > 0$). Así que el derecho de la fracción es menor.

También tenga en cuenta, que para$i \geq 2$,$s_i \geq 1$. Eso significa que de los dos anteriores fracciones, la magnitud de la de la derecha es de una cuarta parte (o menos) de la magnitud de la izquierda, desde la $a' \geq b'$.

En otras palabras, $|s_{i+1}^2 - 2| \leq \frac 14 |s_i^2 - 2|$, por lo que la secuencia de $s_i^2$ claramente converge a $2$. Esto significa que $\sqrt{s_i^2} = s_i$ converge a $\sqrt 2$.