Los números primos de la forma $\frac {(4^m+1)}{5}$

Question

Lo que se sabe acerca de los números primos de la forma

$$p=\frac{4^m+1}{5}$$

donde m es un entero positivo impar? Es $13$ el único primo?

Answer 1

EDDDDIITTTT: nota $$ x^4 + 4 y^4 = (x^2 - 2 x y + 2 y^2) (x^2 + 2 x y + 2 y^2) $$ which is what I noticed. Among other things, this is the statement that the fourth roots of $-4$ are $1+i, 1-i, -1+i, -1-i.$ The particular case where $y$ is a power of $2$ and $x=1$ es atribuido a Aurifeuille, un nombre que se refiere a una persona en lugar de un país. Sin embargo, considero que es un buen nombre para un país. Bueno, Aurifeuillia es un buen nombre para un país.

ORIGINAL: Sí.

Tomar extraño $m=2n+1.$ $$ p = \left( 1 + 4 \cdot (2^n)^4 \right)/5, $$ $$ p = (1 - 2^{n+1} + 2^{2n+1}) (1 + 2^{n+1} + 2^{2n+1}) / 5. $$

Para $n \geq 2$ ambos factores son mayores que los de $5.$

Tenga en cuenta que todos los factores primos $q$ $p$ debe satisfacer $q \equiv 1 \pmod 4.$ de Hecho, si $r$ es el primer y $r \equiv 3 \pmod 4,$ y, finalmente, $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod r,$ $x,y \equiv 0 \pmod r$ $x^2 + y^2 \equiv 0 \pmod {r^2}.$ En nuestro caso tenemos esta $y=1$ así que no hay tal $r$ puede ser un factor.