¿Cómo conservación de la energía siga a partir de la segunda ley de Newton?

Question

Pregunta : Mostrar en el caso unidimensional, como por el potencial de las fuerzas $F(x) = \dfrac{−dV (x)}{dx}$, de conservación de la energía sigue a partir de la 2ª ley de Newton

A partir de la segunda ley de Newton sabemos $$F=ma=m\ddot{x}$$

Cómo hacer que se derivan de la conservación de la ecuación de la energía a partir de esto?

Hasta ahora tengo:

$F=ma$

$\implies \dfrac{−dV (x)}{dx}=m\ddot{x}$

Ahora no sé qué hacer. Quiero integrar, pero ambos son derivados de las diferentes variables. Gracias de antemano.

Answer 1

Escrito

$m \ddot x = -\dfrac{dV(x)}{dx}, \tag{1}$

tenemos

$m \ddot x + \dfrac{dV(x)}{dx} = 0; \tag{2}$

multiplicando por $\dot x$ rendimientos

$m \ddot x \dot x + \dfrac{dV(x)}{dx} \dot x = 0, \tag{3}$

que, usando la regla de la cadena puede ser re-escrita como

$\dfrac{1}{2} \dfrac{d(m\dot x^2)}{dt} + \dfrac{dV(x)}{dt} = 0, \tag{4}$

o

$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}( m \dot x^2) + V(x)) = 0. \tag{5}$

Ahora integrando ambas partes con respecto a $t$ revela que

$\dfrac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) = E, \tag{6}$

donde $E$ es una constante. QED.

Answer 2

$$ -\frac{dV}{dx} = m\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt} \\ -\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} = m\frac{dx}{dt}\times \frac{d}{dt}\frac{dx}{dt} $$ Ahora LHS es de $$ -\frac{d}{dt} V(x(t)) $$y RHS es $$ m\frac{d}{dt}\left(\frac 12 \left(\frac {dx}{dt} \right)^2 \right)$$

Esto significa que, si $m$ no depende de $t$ (que ya se da por sentado que cuando se escribió la ley de la dinámica): $$ \frac{d}{dt}\left(\frac 12 m\left(\frac {dx}{dt} \right)^2 + V(x(t)) \right)=0$$