extraño métrica $d(x,y) = ||x|| + ||y||$ si $x\ne y$, $d(x,y) = 0$ si $x = y$.

Question

Deje $d : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to [0, \infty]$ ser definido por $$ d(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & : ~ x = y \\ ||x|| + ||y|| & : ~ x \ne y \end{array} \right. $$ donde $||\cdot ||$ denota la norma habitual de $\mathbb{R}^n$.

1. Mostrar que $d$ es una métrica.

2. Dibujar el $\varepsilon$-Esferas $B_{\varepsilon}(x_0) := \{ x \in \mathbb{R}^2 ~|~ d(x,x_0) < \varepsilon \}$$x_0 = (0,0)$$x_0 = (1,1)$$\varepsilon = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$.

3. Caracterizar el abierto, cerrado y compacto establece con respecto a esta métrica.

4. Es $(\mathbb{R}^n, d)$ completa?

Número 1) es simple, 2) tengo:

Si $x_0 = (0,0)$ $$ d(x,x_0)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{ for } x = (0,0) \\ \sqrt{x^2 + y^2} & \textrm{ otherwise } \end{array} \right. $$ y si $x_0 = (1,1)$ $$ d(x,x_0) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{ for } x = (1,1) \\ \sqrt{2} + \sqrt{x^2 + y^2} & \textrm{ otherwise } \end{array} \right. $$ y las imágenes son simples esferas con el punto de $x_0$ en la esfera ($x_0 = (0,0)$) o aislado del exterior ($x_0 = (1,1)$).

Pero con 3) yo tengo mis problemas, me conjetura de que $$ B_{\varepsilon}(x) \quad \textrm{ es abrir el fib } \quad ||x|| - \varepsilon > 0 $$ y sé que finito intersecciones de abrir los conjuntos son abiertos, pero luego tuvo tengo abiertos todos los conjuntos de esta construcción? Y qué hay de las otras propiedades, ¿cómo puedo caracterizar ellos, ¿tienes alguna sugerencias?

Answer 1

Para cada $x \ne 0$ podemos encontrar $0 < \epsilon < \|x\|$, de modo que $B_\epsilon(x) = \{x\}$. Por lo tanto, para cada $x \ne 0$, $\{x\}$ está abierto. También, evidentemente $B^d_\epsilon (0) = B_\epsilon(0)$; es decir, todos los Euclidiana bolas alrededor de $0$ es abierto en la topología inducida por $d$ (indicar con $\tau_d$ a partir de ahora).

Por lo tanto, cada abierto en $\tau_d$ es de la forma:

$$B_\epsilon(0) \cup S$$

con $\epsilon \ge 0, B_\epsilon(0)$ Euclidiana pelota alrededor de $0$ (comentario de la caja vacía $\epsilon = 0$) y $S \subseteq X \setminus \{0\}$.

Los conjuntos cerrados son, a continuación, caracterizado como $\complement(B_\epsilon(0)) \cap \complement(S)$ $B_\epsilon(0)$ $S$ anterior. Ahora $\complement (S)$ contiene $0$, pero de lo contrario es un subconjunto arbitrario de $X$. Desde $\complement(B_\epsilon(0))$ no contiene $0$ si $\epsilon > 0$, el único requisito restante para $C \subseteq S$ a ser cerrado en este caso, es que estar contenidos en el complemento de algunos $B_\epsilon(0)$. Si $\epsilon = 0$, entonces a partir de la $\complement(B_\epsilon(0)) = X$, el único requisito es que el $0 \in C$.

Esto se resume diciendo que $C \subseteq X$ es cerrado iff:

$$0 \in C \quad \text{or}\quad \inf \{\|c\|: c \in C\} =: \operatorname{dist}(C, 0) > 0$$

El pacto establece son fácilmente demostrado ser todo lo finito $S \subseteq X$.

Finalmente, $(\Bbb R^n, d)$ es completa, ya que una secuencia de Cauchy $(x_n)_n$ toma un número finito de valores (y trivialmente converge) o ha $\epsilon >0$ que $d(x_n,x_m) < \epsilon \implies d(x_n,0) <\epsilon$ (desde $x_n \ne x_m$ infinitamente a menudo), y llegamos a la conclusión de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = 0$ en este caso.

EDIT: gracias a los tiros de campo para señalar torpes errores en mi análisis del problema.

Answer 2

Con respecto a (2), el $B_e(x_0)$ son no todas las esferas, creo - algunos de ellos contienen un solo punto. Ha $d(x,y) \geq ||x||$, lo $B_\epsilon(x_0)$ $\{x_0\}$ si $||x_0|| \geq \epsilon$, ya que luego ha $d(x_0,y) \geq \epsilon$ todos los $y \neq x_0$. Por lo tanto $$ B_\epsilon(x_0) = \{x_0\} \bigcup \{s : ||s|| < \epsilon - ||x_0||\} $$ El segundo conjunto es vacío si $\epsilon \leq ||x_0||$.

Con respecto a (3) - Que necesita para caracterizar los bloques abiertos de la topología inducida por $d$. Por lo tanto, todos los $B_\epsilon(x)$ están abiertas por definición. Y así son todos (finito o infinito) de los sindicatos de los conjuntos de $B_{\epsilon_i}(x_i)$. Supongo que lo que quiero hacer es encontrar una manera más directa para caracterizar el abierto de los conjuntos que eso. Generalmente, el conjunto de todos los conjuntos no es fácil de describir sin tener que recurrir a al menos infinito a los sindicatos, pero aquí se puede hacer mucho mejor. Mira las bolas $B_{||x||}(x)$ arbitrarias $x$, en particular...

Una interpretación de este indicador, por cierto, es que para ir de a$a$$b$, siempre tiene que ir de $a$ $0$primero, y luego de$0$$b$. Por lo tanto, para cada punto de $a$, el más cercano al "prójimo" $a$ que no es $a$ sí siempre es $0$, y su distancia es de $||a||$. La matric es, por tanto, a veces llamado ferrocarril francés métrica, en alusión a la (seguramente exagerada!) afirman que para ir de una ciudad a otra por medio del ferrocarril en francia, que siempre se tiene que ir a través de parís.