Dejemos que $X$ sea cualquier espacio Hausdorff localmente compacto y supongamos que no es compacto. He oído que el espacio de Banach $(C_0(X),\|\!\cdot\!\|_\infty)$ no es isométricamente isomorfo al dual (norma) de un espacio de Banach. ¿Hay algún buen libro donde pueda encontrar una prueba de este resultado?
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Lei Zhao
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Supongamos primero que $C_0(X) = E^\ast$ para algún espacio normado $E$ . Por Teorema de Alaoglu la bola de la unidad cerrada $B$ de $C_0(X)$ es compacto en la topología débil* y por la Teorema de Krein-Milman $B$ tiene un punto extremo (de hecho, $B$ es el casco convexo débil*-cerrado de sus puntos extremos).
Por lo tanto, para demostrar que $C_0(X)$ no es un espacio dual, basta con demostrar que $B$ no tiene puntos extremos:
Dejemos que $f \in B$ con $\lVert f\rVert =1$ . Desde $X$ no es compacto y $f$ desaparece en el infinito, el conjunto $U = \{x \in X : |f(x)| \lt 1/2\}$ es abierto no vacío y $C=\{x \in X : \lvert f(x) \rvert \geq 1/2\}$ es no vacía y compacta.
Escoge $u \in U$ y utilizar el lema de Urysohn para encontrar una función $h\colon X \to [0,1/2]$ tal que $h(u) = 1/2$ y $\operatorname{supp}h \subset U$ . Entonces $\left\lVert f \pm h\right\rVert_\infty = 1$ y $f \neq f\pm h$ junto con $$ f = \frac{1}{2}\left(f+h\right) + \frac{1}{2}\left(f-h\right) $$ demostrar que $f$ no es un punto extremo en $B$ .
Observación. Es esencial que asumamos que $X$ no es compacto. Funciones constantes de norma $1$ son siempre extremas en la bola unitaria para las compactas $X$ Por lo tanto, el argumento anterior se rompe. Hay una buena razón para ello: Para los finitos $X$ , $C(X) \cong \mathbb{R}^n$ es reflexivo, o para $X = \beta\mathbb{N}$ podemos demostrar que $C(\beta\mathbb{N}) \cong \ell_\infty = (\ell_1)^\ast$ por lo que se trata de espacios duales.
