Problema de desigualdad de RMO

Question

Si $a,b,c,d,e>1$ Entonces, demuéstralo: $$\frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{c-1} + \frac{d^2}{e-1} + \frac{c^2}{a-1} + \frac{e^2}{d-1} \ge 20. $$

No sé cómo empezar. ¿Cuál debería ser el enfoque?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^2-4(x-1) = (x-2)^2\ge 0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ y por lo tanto $x^2\ge 4(x-1)$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Como tal, tenemos $$ \frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{c-1} + \frac{d^2}{e-1} + \frac{c^2}{a-1} + \frac{e^2}{d-1} \ge 4\left(\frac{a-1}{b-1} + \frac{b-1}{c-1} + \frac{c-1}{a-1} + \frac{d-1}{e-1} + \frac{e-1}{d-1}\right). $$ Por lo tanto, basta con mostrar $$\frac{a-1}{b-1} + \frac{b-1}{c-1} + \frac{c-1}{a-1} + \frac{d-1}{e-1} + \frac{e-1}{d-1}\ge 5.$$ ¿Puedes ver cómo terminar?

Answer 2

Observe que podemos reescribir su expresión como

$$ \left( \frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{c-1} + \frac{c^2}{a-1} \right) + \left( \frac{d^2}{e-1} + \frac{e^2}{d-1} \right) \geq 20. $$

Consideremos primero el problema del bebé de encontrar el valor mínimo de $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ suponiendo que $x > 1$ . El mínimo se alcanza fácilmente en $x = 2$ con valor $4$ .

A continuación, consideremos el problema de encontrar el valor mínimo de

$$ \frac{d^2}{e-1} + \frac{e^2}{d-1} = f(d) \frac{d-1}{e-1} + f(e) \frac{e-1}{d-1} $$

suponiendo que $d,e > 1$ . La desigualdad aritmética-geométrica muestra que

$$ f(d) \frac{d-1}{e-1} + f(e) \frac{e-1}{d-1} \geq 2 \sqrt{f(d)f(e)} \geq 2f(2) = 8 $$

donde el valor mínimo de $8$ se alcanza efectivamente cuando $d = e = 2$ .

Por último, consideremos el problema de encontrar el valor mínimo de

$$ \frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{c-1} + \frac{c^2}{a-1} = f(a)\frac{a-1}{b-1} + f(b)\frac{b-1}{c-1} + f(c)\frac{c-1}{a-1} $$

suponiendo que $a,b,c > 1$ . De nuevo, la desigualdad aritmético-geométrica muestra que

$$ f(a)\frac{a-1}{b-1} + f(b)\frac{b-1}{c-1} + f(c)\frac{c-1}{a-1} \geq 3 (f(a)f(b)f(c))^{\frac{1}{3}} \geq 3f(2) = 12 $$

donde el mínimo efectivamente alcanzado en $a = b = c = 2$ .

Combinando todo lo anterior, obtenemos el resultado requerido.

Answer 3

Utilizando Cauchy-Scwarz para \begin{align*} \frac{a_1}{\sqrt{x_1}}, \frac{a_2}{\sqrt{x_2}}, \ldots, \frac{a_n}{\sqrt{x_n}} \\ \sqrt{x_1}, \sqrt{x_2}, \ldots, \sqrt{x_n} \end{align*} obtenemos \begin{align*} \frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a_2^2}{x_2}+\cdots + \frac{a_n^2}{x_n} \geq \frac{(a_1+a_2+\cdots + a_n)^2}{x_1+x_2+\cdots+x_n} \end{align*} Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{d^2}{e-1}+\frac{c^2}{a-1}+\frac{e^2}{d-1} \geq \frac{(a+b+c+d+e)^2}{a+b+c+d+e-5} \end{align*} Poniendo $x=a+b+c+d+e$ necesitamos demostrar \begin{align*} \frac{x^2}{x-5} \geq 20 \end{align*} Desde $x > 5$ se puede escribir como $x^2 -20x + 100 \geq 0$ . Esto se deduce fácilmente ya que \begin{align*} x^2-20x+100 = (x-10)^2\end{align*}

La prueba también muestra que los numeradores pueden ser cualquier permutación de $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2$

Answer 4

Por Cauchy Schwarz, $($ expresión dada $)(a+b+c+d+e-5)\geq(a+b+c+d+e)^2$

Ahora bien, esto muestra $($ expresión dada $)\geq \dfrac{(a+b+c+d+e)^2}{a+b+c+d+e-5}$

Ahora $(a+b+c+d+e)^2=(a+b+c+d+e-5)^2+2\times(a+b+c+d+e-5)\times 5+25$ por lo tanto, en la división por $a+b+c+d+e-5$ obtenemos $a+b+c+d+e-5+10+\dfrac{25}{a+b+c+d+e-5}=(a+b+c+d+e-5)+\dfrac{25}{a+b+c+d+e-5}+10$

Dejar $x=a+b+c+d+e-5$ observamos $x\geq0$ y lo anterior es $x+\dfrac{25}{x}+10\geq 10+10=20$ por AM-GM.

Answer 5

Las funciones $x^2$ y $(x-1)$ son ambos crecientes en $x$ . Por tanto, por la desigualdad de reordenación, la suma es $ \geq \sum \frac{a^2}{a-1}$ que es más fácil de controlar, de hecho cada término de esta suma es $\geq 4$ .