Demostrar que $(\mathbb{Z},d)$ es un espacio métrico

Question

Tengo este de Mendelson:

Deje $\mathbb {Z}$ el conjunto de los números enteros.Deje $p$ ser un positivo primer número entero. Dado distintas enteros $m$, $n$ hay un único entero $t=t(m,n)$ tal forma que:

$$ m-n=p^tk $$

donde $k$ es un entero no divisible por $p$. Definir una función $d:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {R}$ por la correspondencia

$$d(m,m)=0$$

y

$$d(m,n)=\frac{1}{p^t}$$

de $m \neq n.$

Demostrar que $(\mathbb {Z,d})$ es un espacio métrico.

Agradecería una explicación mejor a esta pregunta. Yo no obtener la $t(m,n)$. Esto también es una distancia,a la derecha?

Answer 1

Deje $x, y, z$ ser números enteros. Basta probar que $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. Si dos de $x, y, z$ son iguales, esto es trivial. Así, podemos asumir que son distintos.

Deje $x - y = p^k a$ donde $a$ no es divisible por $p$. Deje $y - z = p^s b$ donde $b$ no es divisible por $p$. Podemos suponer $k \leq s$.

A continuación,$x - z = (x - y) + (y - z) = p^k a + p^s b = p^k(a + p^{s-k}b)$. Supongamos $x - z = p^r c$ donde $c$ no es divisible por $p$. A continuación,$r \geq k$. Por lo tanto $d(x, z) = 1/p^r \leq 1/p^k = d(x, y) \leq d(x, y) + d(y, z)$. Y hemos terminado.

Answer 2

No creo que de $t(m,n)$ como una distancia. Más bien, considerar el siguiente:

Deje $x = m-n$. Entonces por el teorema fundamental de la aritmética, $x$ tiene un (único) de la factorización prima. Deje $p$ ser cualquier prime. A continuación, $p$ tiene un poco de orden, se $t$ tal que $t \ge 0$ (e $t \ge 1$ si $p$ es en la factorización prima de $x$).

Así que, en otras palabras, $t(m,n)$ los rendimientos de la orden del primer factor de $p$ de la factorización en primos de $m-n$. El resto de la obra simplemente requiere que usted para mostrar que las propiedades de un espacio métrico espera (o quizás no).