Secuencia espectral del serre y acción fundamental del grupo sobre la homología

Question

Estoy mirando mis notas de topología algebraica ahora mismo, y estoy mirando nuestra definición de la Secuencia Espectral del Serre y requiere que la acción del grupo fundamental del espacio base de una fibra $F \to E \to B$ ser trivial en todos los grupos de homología de la fibra. Entonces podemos construir el SSS, etc., etc. ¿Qué significa exactamente que la acción del grupo fundamental sea trivial (más bien, qué es esta acción en absoluto, cómo se define)? Intuitivamente, ¿significa esto que si tomamos la fibra en un punto, tomamos su homología, y luego seguimos la homología a lo largo de un bucle, volvemos a la misma homología?

Cualquier orientación sería muy apreciada. Actualmente estoy tratando de usar la SSS para encontrar los grupos de cohomología de los espacios de bucle de trayectoria de las esferas dimensionales pares, y tenemos un ejemplo usando las esferas dimensionales impar, así que imagino que podría asumir que se cumplen todos los requisitos para usar la SSS, pero me gustaría saber qué está pasando aquí exactamente.

¡Gracias!

Answer 1

No, significa que el homomorfismo inducido por seguir un bucle es trivial. Siempre obtendrás el mismo grupo de vuelta, pero un generador puede ser enviado a su negativo. Tomemos una tira de Möbius $\mathbb R \to M \to S^1 $ y modifique cada fibra de la tira por la acción de $\mathbb Z$ . Esto es un toroide retorcido (podría ser la botella de Klein). Elige cualquier punto $p \in S^1$ y un generador $\omega$ de $H_1(\pi^{-1}(p))$ . El bucle alrededor de la base induce una acción de $H_1(\pi^{-1}(p))$ que envía $\omega$ a $-\omega$ .

¿Alguien sabe qué ocurre con la Secuencia Espectral de Serre cuando ésta no es trivial?

Answer 2

Dejar $p:\ E\rightarrow B$ sea el fibrado, y que $B$ sea un camino conectado; entonces todas las fibras $p^{-1}(b)$ son equivalentes en homotopía. Además, un camino $f:\ [0,1]\rightarrow B$ define una clase de homotopía $f_*$ de equivalencia de homotopía entre $p^{-1}(f(0))$ y $p^{-1}(f(1))$ . Mejor aún, esto sólo depende de la clase de homotopía de $f$ , relativa a sus puntos finales. Así que especializándonos en el grupo fundamental, basado en $b\in B$ tenemos un homomorfismo de grupo desde $\pi_1(B,b)$ a $S$ , donde $S$ son las clases de homotopía de las equivalencias de homotopía entre $p^{-1}(b)$ y $p^{-1}(b)$ . Si dejamos que $F=p^{-1}(b)$ entonces cada una de estas equivalencias de homotopía induce un automorfismo de $H_n(F)$ por cada $n$ es decir, obtenemos un homomorfismo de grupo de $\pi_1(B,b)$ a $Aut(H_n(F))$ por cada $n$ .

Todo esto está bien cubierto en los capítulos 6 y 9-10 de "Lecture Notes in Algebraic Topology" de Kirk y Davis.